群的扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 直积和半直积(群)

   注:本节参考《代数学基础》,本节主要编辑即是此书作者。

   如果说求商群的过程是在 “模糊化” 一个群,那么直积可以理解为 “精细化” 一个群。

   具体地,考虑群直积 $G\times H$,则 $\{e\}\times H$ 是其一个正规子群,于是求商群 $G\times H/\{e\}\times H$ 的过程就是把第一分量相同的元素 $(g, h_1)$ 和 $(g, h_2)$ 都视为同一个元素,即模糊了它们之间的差别。反之,已知群 $G$ 和 $H$,则求直积的过程可以理解为把每个元素 $g\in G$ 细化为集合 $\{(g, h)\mid h\in H\}$,从一个点变成更多点。

   那么求商群和求直积是不是互为逆运算呢?很可惜,并不是。

例 1 

   考虑循环群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 和 Klein 群 $K_4=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。二者都含 $4$ 个元素,都有正规子群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,但 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\neq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,故不能循环群 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 写成它的商群和正规子群的直积。

   如何正确表达求商群的逆运算呢?如果说求商群 $G/N$ 是把正规子群 $N$ 的每个左陪集都看成一个元素,抹去其运算细节,那么反过来,把 $G/N$ 中的每个元素都扩张为一个群,就能得到 $G$,我们称这个过程为群的扩张

定义 1 群的扩张

   给定群 $K$ 和 $N$,如果存在一个群 $G$ 和群同态 $f:G\to K$,使得 $ \operatorname {ker}f\cong N$,则称 $G$ 为群 $K$ 过群 $N$ 的扩张(extension)

   称 $N$ 为该扩张的扩张核,或简称为核。

   群的扩张还可以用一种更简洁的语言来表达。

定义 2 正合序列

   给定群 $G_i$,如果存在同态 $f_i:G_i\to G_{i+1}$,使得 $ \operatorname {Im}f_i= \operatorname {ker}f_{i+1}$,则称如下的序列

\begin{equation} \cdots \xrightarrow{f_{i-2}} G_{i-1} \xrightarrow{f_{i-1}} G_i \xrightarrow{f_i} G_{i+1} \xrightarrow{f_{i+1}}\cdots~ \end{equation}
为一个正合序列(exact sequence)

   不至于混淆时,也可以省略不写箭头上方的同态。

   令 $1$ 表示平凡群,则称

\begin{equation} 1\xrightarrow{}H\xrightarrow{\lambda}G\xrightarrow{\mu}K\xrightarrow{}1~ \end{equation}
为一个短正合序列(short exact sequence)

   按照正合序列的定义,短正合序列中 $\lambda$ 必是单射,这意味着 $H$ 同构于 $G$ 的某个子群;同时根据群同态基本定理习题 2 ),$K\cong G/H$,这意味着我们可以用短正合序列来定义群的扩张:

习题 1 群的扩张(另一定义)

   证明:“群 $G$ 是群 $K$ 过群 $H$ 的扩张” 当且仅当 “存在短正合序列 $1\xrightarrow{}H\xrightarrow{\lambda}G\xrightarrow{\mu}K\xrightarrow{}1$”。

   接下来,我们看一些群扩张的例子,加深体会。

例 2 

   例 1 中的两个群,分别可以写成以下扩张:

\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda_1}K_4\xrightarrow{\mu_1}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1, \\ &1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda_2}K_4\xrightarrow{\mu_2}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~. \end{aligned} \right. \end{equation}

   这个例子说明,同一个群过同一个群的扩张,方式不唯一。

例 3 

   考虑满同态$\mu: \operatorname {S}_3\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$,其中奇置换都映射到 $1$,偶置换映射到 $0$。考虑 $ \operatorname {ker}\mu=\{(1), (1\ 2\ 3), (1\ 3\ 2)\}=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$,易得短正合序列:

\begin{equation} 1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\lambda} \operatorname {S}_3\xrightarrow{\mu}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~. \end{equation}

   这个序列说明,结构简单的阿贝尔群也能扩张出结构复杂的非阿贝尔群。

例 4 

   从群扩张的角度,可以清晰地看出正交群和自旋群的结构差异:

\begin{equation} 1\xrightarrow{} \operatorname {SO}_3\xrightarrow{} \operatorname {O}_n\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{}1~. \end{equation}
\begin{equation} 1\xrightarrow{}\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\xrightarrow{} \operatorname {Spin}_n\xrightarrow{} \operatorname {SO}_3\xrightarrow{}1~. \end{equation}

   直观来说,正交群 $ \operatorname {O}_n$ 可以看成是给特殊正交群整体加了一个 “镜像”,自旋群 $ \operatorname {Spin}_n$ 则是给特殊正交群的每个元素加了一个 “镜像”。

                     

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