cos2 波包

贡献者： addis

1. cos2 波包

　　 $\cos^{2}$ 波包也叫 $\sin^{2}$ 波包，比起高斯波包，它的优点是存在明确的范围。它的函数形式为

\begin{matrix} (1) & f (x) = {\begin{aligned} A \cos^{2} (\frac{π x}{L}) e^{i k x} & (| x | < L / 2) \\ 0 & (otherwise) . \end{aligned} \end{matrix}

其中

L

是波包的总长度。它的 FWHMI 为

\begin{matrix} (2) & FWHMI = \frac{2}{π} acos (2^{- 1 / 4}) L \approx 0.3640567 L . \end{matrix}

满足

f^{2} (FWHMI/2) = f^{2} (0) / 2

。

　　积分为（令 $a = π / L$ ）

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \int A \cos^{2} (a x) e^{i k x} d x = - i \frac{A}{4} e^{i k x} (\frac{2}{k} + \frac{e^{2 i a x}}{2 a + k} - \frac{e^{- 2 i a x}}{2 a - k}) + \frac{2 i A a^{2} \cos [π k / (2 a)]}{k (4 a^{2} - k^{2})} + C \\ = \frac{A x}{4} (2 sinc (k x) + sinc [(2 a + k) x] + sinc [(2 a - k) x]) \\ + i \frac{A}{4} (- \frac{2 \cos (k x)}{k} - \frac{\cos [(2 a + k) x]}{2 a + k} + \frac{\cos [(2 a - k) x]}{2 a - k}) + \frac{2 i A a^{2} \cos [π k / (2 a)]}{k (4 a^{2} - k^{2})} + C . \end{aligned} \end{matrix}

C

前面的部分在

x = \pm π / (2 a)

处分别为

\frac{\pm 2 A a^{2} \sin [π k / (2 a)]}{k (4 a^{2} - k^{2})}

，易得无穷定积分只有实部

\begin{matrix} (4) & \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{- π / (2 a)}^{π / (2 a)} A \cos^{2} (a x) e^{i k x} d x = \frac{4 A a^{2} \sin [π k / (2 a)]}{k (4 a^{2} - k^{2})} . \end{matrix}

另外，实部是奇函数，虚部是偶函数。

　　傅里叶变换（注意是实数）：

\begin{matrix} (5) & \tilde{f} (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) e^{- i ω x} d x = \frac{\sqrt{2} π^{3 / 2} A L}{4 π^{2} - L^{2} (ω - k)^{2}} sinc [L (ω - k) / 2] . \end{matrix}

零点的位置为

\begin{matrix} (6) & k = k_{0} \pm 2 n π / L (n = 2, 3, \dots) . \end{matrix}

标准差约为

2.92544 / L

，方差

13.15947 / L^{2}

，FWHMI

9.05144 / L

。

　　画图对比如下（代码见文末）：

图 1：高斯波包和 cos2 波包的对比

2. 附：Matlab 画图代码

代码 1：cos2_spec.m

% properties of cos2 wave packet spectra

A = 0.9; L = 1.12;
g = @(k) (sqrt(2)*pi^1.5*A*L)./(4*pi^2-L^2*k.^2) .* sinc(L*k/2);

k = linspace(-40, 40, 1000);
figure; plot(k, g(k));
grid on;
xlabel k;
hold on;
scatter((2:6)*2*pi/L, 0, 'k');
scatter((-6:-2)*2*pi/L, 0, 'k');
axis([-40, 40, -0.02, 0.21]);

A = 1/sqrt(integral(@(k)g(k).^2, -inf, inf));
integral(@(k)g(k).^2.*abs(k).*A^2, -inf, inf)

代码 2：FWHMIsin2

% FWHMI of wave packets
% FWHMI: full width half maximum intensity
% return the ratio of FWHMI of sin2 (field) wave v.s. total duration
% satisfy: |cos(pi/2 * FWHMIsin2)^2|^2 == 1/2

function ret = FWHMIsin2
    ret = 2*acos(2^(-1/4))/pi;
end

代码 3：cos2_gaussian_compare.m

% plot Gaussian vs cos2 profile

% gaussian
FWHMI = 1;
a = iFWHMIexp(FWHMI);
x = linspace(-2*FWHMI, 2*FWHMI, 1000);
field_gauss = exp(-a.*x.^2);

% cos2
field_cos2  = zeros(size(x));
dur_cos2 = FWHMI / FWHMIsin2;
mark = abs(x) < dur_cos2/2;
field_cos2(mark) = cos((pi/2)*x(mark)/(dur_cos2/2)).^2;

% plot field profile
figure;
subplot(2, 1, 1); hold on;
axis([min(x), max(x), 0, 1.1]);
plot_vert(-FWHMI/2, 'c--');
plot_vert(FWHMI/2, 'c--');
plot_hori(sqrt(1/2), 'c--');
plot(x, field_gauss, 'r');
plot(x, field_cos2, 'b--');
legend({'', '', '', 'Gaussian', 'cos2'});
% xlabel('t [FWHM]');
ylabel('field');
title('Gaussian vs cos2 profile (lines show FWHMI)');

% plot intensity profile
subplot(2, 1, 2); hold on;
axis([min(x), max(x), 0, 1.1]);
plot_vert(-FWHMI/2, 'c--');
plot_vert(FWHMI/2, 'c--');
plot_hori(1/2, 'c--');
plot(x, field_gauss.^2, 'r');
plot(x, field_cos2.^2, 'b--');
xlabel('t [FWHM]');
ylabel('intensity');