高斯绝妙定理

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预备知识　高斯曲率和平均曲率，等距映射与保形映射

　　原作者：JierPeter

　　本节我们来讨论高斯绝妙定理。

　　在最初的古典微分几何研究中，常常需要将流形理解为某个 $\mathbb{R}^n$ 空间中的超曲面，进行具体的、复杂的计算，从而得到其性质。比如说，很多二维的流形都可以表示为三维空间中的一个曲面，比如球、平面、双曲面等等；也有的二维流形没法在三维空间中表示，比如 Klein 瓶，但是在四维空间中一定可以表示的¹。

　　高斯第一个发现 “曲率” 这一内蕴量，并把该发现命名为绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）²。连高斯都觉得绝妙的发现到底是什么呢？这就需要解释何为 “内蕴” 了：它是指，曲率的计算不依赖于具体的嵌入、图等具体表示，而是流形本身具有的性质。这就逐渐进入了现代微分几何更为抽象但优雅的大门了。

1. ^ 题外话：任意 $n$ 维实流形，都可以嵌入到 $\mathbb{R}^{2n}$ 中。
2. ^ 注意 “绝妙定理（Theorema Egregium）” 是拉丁语。