等距映射与保形映射
贡献者： JierPeter
1. 等距变换
等距变换，或称等度量变换，是指在变换前后不改变切向量的长度的变换——更一般地，不改变任何两个切向量的内积。
定义 1 等距变换
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$，使得对于任意 $p\in S$ 和任意两个 $w_1, w_2\in T_pS$，都有 $w_1\cdot w_2= \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_1)\cdot \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_2)$，那么我们说 $\varphi$ 是一个等距变换（isometry），称 $S$ 和 $R$ 是等度量的（isometric）。
定义 2 局部等距变换
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$，使得在某一个 $p\in S$ 处有一个邻域，在这个邻域里 $\varphi$ 是等距映射，则称 $\varphi$ 是在 $p$ 处的局部等距变换（local isometry）。如果存在 $\varphi$ 在每一个点上都是局部等距变换，则称 $S$ 和 $R$ 是局部等距的（locally isometric）。
局部等距的例子可以依靠以下定理来寻找。
定理 1
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，给定两个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :V\to R$，使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$1相等，则映射 $\varphi= \boldsymbol{\mathbf{y}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} : \boldsymbol{\mathbf{x}} (U)\to R$ 是一个局部等距变换。
2. 保形映射
等距变换是保形变换的一个特例。等距变换过于简单，因此我们引入范围更广一些的保形映射，比起前者有更多有趣的结构。
定义 3 保形映射
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$，使得对于任意 $p\in S$ 和任意两个 $w_1, w_2\in T_pS$，都有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_1)\cdot \,\mathrm{d}{\varphi} _p(w_2)=\lambda^2(p)w_1\cdot w_2~.
\end{equation}
其中 $\lambda$ 是 $S$ 上的一个
处处不为零的可微函数，则称 $\varphi$ 是一个
保形映射（conformal map），也叫
共形映射；$S$ 和 $R$ 就被称为是
共形（conformal）的。
定义 4 局部保形映射
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，如果存在同胚映射 $\varphi:S\to R$，使得在某一个 $p\in S$ 处有一个邻域，在这个邻域里 $\varphi$ 是保形映射，则称 $\varphi$ 是在 $p$ 处的局部共形映射（local conformal map）。如果存在 $\varphi$ 在每一个点上都是局部保形变换，则称 $S$ 和 $R$ 是局部共形的（locally conformal）。
类似等距变换，我们也有以下定理。
定理 2
对于两个正则曲面 $S$ 和 $R$，给定两个局部坐标系 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} :U\to S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} :V\to R$，使得两个坐标系下计算的 $E, G, F$ 只差一个因子 $\lambda^2(p)$，而 $\lambda(p)$ 是 $S$ 上处处不为零的可微函数，则映射 $\varphi= \boldsymbol{\mathbf{y}} \circ \boldsymbol{\mathbf{x}} : \boldsymbol{\mathbf{x}} (U)\to R$ 是一个局部等距变换。
由正则曲面的定义，我们还容易得到：
1. ^ 见定义 1 。