高斯曲率和平均曲率
贡献者： JierPeter
定义 1
给定一个正则曲面 $S$ 和其上一条正则曲线 $C$。任取 $p\in C$，记 $k$ 为 $C$ 在 $p$ 处的曲率，$n$ 为 $C$ 在 $p$ 处的单位法向量，$N$ 为 $S$ 在 $p$ 处的单位法向量，则定义 $k_n=kn\cdot N$ 为曲线 $C$ 在曲面 $S$ 上的法曲率（normal curvature）。
法曲率和曲线本身的曲率不一定相同。比如说，考虑在纸面上画一个圆，然后把纸卷成圆柱，那么圆上总有两个点的法曲率为零，但是圆本身的曲率处处不为零。至于是哪两个点，你可以先发挥一下想象力，而接下来介绍的定理可以帮助你验证想象是否准确。
事实上，法曲率的值和曲线本身关系不是特别大，只需要知道曲线在一点处的切线，就可以唯一确定其法曲率了。这一点被表述为以下定理。
定理 1 Meusnier 定理
给定正则曲面 $S$ 和其上一点 $p$，如果 $C_1$ 和 $C_2$ 是两条 $S$ 上过 $p$ 的曲线，且在 $p$ 点处二者有相同的切线，那么二者的法曲率相同。
定义 2 主曲率
给定正则曲面 $S$ 和其上一点 $p$，由 Meusnier 定理，该点处每一个切线方向都唯一对应一个法曲率值。这些法曲率中的最大和最小值被称为 $S$ 在点 $p$ 处的主曲率（principal curvature），对应的方向则是主方向（principal direction）。
定义 3 曲率曲线
如果曲面上一条曲线处处都是主方向，那么称其为曲面上的一条曲率曲线（line of curvature）。1
定义 4 高斯曲率与平均曲率
设曲面 $S$ 在 $p$ 处的主曲率为 $k_1$ 和 $k_2$，那么称 $K_p=k_1k_2$ 为曲面在该点处的高斯曲率（Gaussian Curvature），$H_p=\frac{k_1+k_2}{2}$ 为曲面在该点处的平均曲率（mean curvature）。
高斯曲率实际上就是形状算子的行列式，而平均曲率是形状算子迹的一半。
高斯曲率和形状算子还引出了对曲面上的点的一种分类：
定义 5
对于曲面 $S$ 上的一点 $p$，我们有：
- 如果 $K_p>0$，则称 $p$ 是一个椭圆点（elliptic）；
- 如果 $K_p<0$，则称 $p$ 是一个双曲点（hyperbolic）；
- 如果 $K_p=0$ 但 $L_p\not=0$，则称 $p$ 是一个抛物点（parabolic）；
- 如果 $L_p=0$，则称 $p$ 是一个平面点（planar）；
其中对于椭圆点和双曲点，还特别地有以下性质：
定理 2
对于曲面 $S$ 上的一点 $p$，如果 $p$ 是椭圆点，则存在 $S$ 上 $p$ 的邻域 $V$，使得 $V-\{p\}$ 的所有点都在 $T_pS$ 的同一侧；如果 $p$ 是双曲点，则对于 $S$ 上 $p$ 的任何邻域 $U$，$T_pS$ 的两侧总有 $U$ 的点。
定义 6 脐点
对于曲面 $S$ 上的一点 $p$，如果 $k_1=k_2$，即所有方向都是主方向，那么称 $p$ 为 $S$ 上的一个脐点（umbilical point）。
平面、球面上的每一个点都是脐点；抛物面的顶点也是脐点。
定理 3
如果一个正则曲面 $S$ 上处处是脐点，那么 $S$ 必然是球面的一部分。此处将平面视为球面的特例。
定义 7 渐进曲线
对于曲面 $S$ 上的一点 $p$，如果某个方向对应的法曲率为零，那么称这个方向是 $T_pS$ 上的渐进方向（asymptotic direction）。如果 $S$ 上一条正则曲线处处在渐进方向上，则称它为 $S$ 上的一条渐进曲线（asymptotic curve）。
1. ^ Olinde Rodrigues 定理给出了曲率曲线的充要条件。