无穷 Galois 扩张与 Krull 定理

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　Galois 扩张，连通性，分离性

　　 Galois 扩张中除了 Galois 扩张和 Galois 群的基本性质，剩下的重点内容全是有限Galois 扩张的情况，见子节 3 。作为提醒，再总结一次：有限 Galois 扩张都是单代数扩张，且为分裂域。

　　 本节介绍的是无限 Galois 扩张中的性质，将有限扩张的Galois 理论基本定理（定理 14 ）进行拓展，得到Krull定理。Krull 的工作亮点，在于给 Galois 群赋予了一个拓扑结构。

　　 为了得到 Krull 拓扑，我们要先观察 Galois 扩域的一些性质。注意，接下来我们不再限定为有限扩张了。

　　 由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张，因此 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 存在。有了这一点，我们就可以讨论下面两条引理：

引理 1　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张，且存在中间域 $\mathbb{M}$。

　　 则 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张 $\iff$ $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$。

　　 引理 1 实际上就是定理 11 ，因此证明参见该定理。

引理 2　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张，且存在中间域 $\mathbb{M}$。则 $[ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}): \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})]=[\mathbb{M}:\mathbb{F}]$。

　　 证明：

　　 取 $f, g\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，则 $f$ 和 $g$ 模 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余当且仅当$f^{-1}g\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$，或者说 $f$ 和 $g$ 限制在 $\mathbb{M}$ 上是相同的。

　　 因此，$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的每个左陪集对应一个 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 的映射。

　　 证毕。

　　 这条引理很像定理 12 ，只不过不再要求是有限扩张了。这显得定理 12 似乎没有存在的必要，然而我们依然将它保留了，体现 “有限 Galois 扩张就是单扩张” 的思路。

定理 1　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域，$\mathcal{M}=\{ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})\mid \mathbb{M}/\mathbb{F}\text{是有限扩张}\}$1。则有：

　　 1。$\forall H\in\mathcal{M}$，$[ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}): H]$2是有限的；

　　 2。$\bigcap_{H\in\mathcal{M}}=\{e\}$。这里 $e$ 是群的单位元，即 $\mathbb{K}$ 上的恒等映射 $ \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$。

　　 3。$\forall H_1, H_2\in\mathcal{M}$，有 $H_1\cap H_2\in\mathcal{M}$；

　　 4。$\forall H\in\mathcal{M}$，$\exists N\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，且 $N\subseteq H$；

　　 证明：

　　 1。

　　 由引理 2 直接可得。

　　 2。

　　 任取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，只要 $\sigma\not= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$，那么就存在 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 使得 $\sigma(\alpha)\neq\alpha$。取 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$，则 $\sigma\not\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$。故 $\sigma\not\in \bigcap_{H\in\mathcal{M}}$。

　　 3。

　　 由引理 1 ，$H_1\cap H_2$ 是 $\mathbb{M}_1\mathbb{M}_2$ 的 Galois 群。

　　 有限域的合成可以看成 $\mathbb{M}_1$ 用 $\mathbb{M}_2$ 的元素反复进行有限次单扩张的结果。由于是 Galois 扩张，故这些单扩张全都是代数扩张，从而是有限扩张，从而 $\mathbb{M}_1\mathbb{M}_2/\mathbb{F}$ 是有限扩张。

　　 4。

　　 由引理 1 ，只需要证明存在 $\mathbb{M}'$，使得 $\mathbb{M}'\supseteq\mathbb{M}$ 且 $\mathbb{M}'/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 取 $\mathbb{M}'$ 为 $\mathbb{M}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的所有共轭域之合成即可。

　　 证毕。

　　 你可能会想到，定理 1 的第 4 条完全可以取 $N=\{e\}$ 来证明，也就是取 $\mathbb{M}'=\mathbb{K}$，这就导致情况过于平凡，似乎定理第 4 条没有存在的必要。但我们实际采用的证明过程说明非平凡的情况也是存在的。

1. Krull 定理

Krull 拓扑

　　 考虑任意集合 $X$ 和 $Y$，令 $M\subseteq X^Y$。任取 $f\in M$，以及 $X$ 的有限子集 $S$，令

\begin{equation} V(f, S) = \{g\in M\mid g(s)=f(s), \forall s\in S\}~, \end{equation}
即 $V(f, S)$ 是全体属于 $M$ 且限制在 $S$ 上与 $f$ 相等的映射的集合。

　　 任取 $h\in V(f, S)\cap V(g, T)$，则易得 $V(f, S)\cap V(g, T) = V(h, S\cup T)$3。于是，全体 $V(f, S)$ 的集合对于有限交封闭，从而据子节 2 的讨论知，全体 $V(f, S)$ 的集合是一个拓扑基（定义 2 ）。

　　 这样全体 $V(f, S)$ 的集合就定义了 $M$ 上的一个拓扑，称之为 $M$ 上的有限拓扑（finite topology）。

定理 2　

　　 考虑 Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$。令

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{N} &= \{\sigma N\mid N\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}), N\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\}\\ \mathcal{L} &= \{\sigma H\mid H\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\}\\ \mathcal{R} &= \{H\sigma \mid H\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\}~, \end{aligned} \end{equation}
其中 $\mathcal{M}d$ 的定义见定理 1 。

　　 则 $\mathcal{N}$、$\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上有限拓扑的拓扑基。

　　 证明：

　　 只需证明 $\mathcal{N}$ 的情况即可，因为 $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{L}\cap\mathcal{R}$。

　　 任取 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 的中间域 $\mathbb{M}$，使得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是有限扩张。考虑 $\mathcal{M}$ 的定义，以及 “有限可分扩张都是单扩张”（推论 2 ），可知存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$。因此，如果 $\sigma_i\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 $\sigma_1(\alpha)=\sigma_2(\alpha)$，那么 $\sigma_1\sigma_2^{-1}\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 换句话说，$\mathbb{K}$ 的两个自同构模 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余（在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的同一个左陪集里），当且仅当它们把 $\alpha$ 映射为同一个元素。于是，取 $\mathbb{K}$ 的有限子集$\{\alpha\}$，有

\begin{equation} V(\sigma, \{\alpha\}) = \sigma \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})~. \end{equation}

　　 因此，$\mathcal{N}$、$\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上有限拓扑的子族。

　　 下证任意 $V(\sigma, S)$ 总能由 $\mathcal{N}$ 求并得到。

　　 任取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，以及 $\mathbb{K}$ 的有限子集 $S$。则 $\mathbb{F}(S)/\mathbb{F}$ 是有限扩张。由定理 1 第 4 条，可以取 $\mathbb{F}(S)$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成 $\mathbb{M}\subseteq\mathbb{F}(S)$，使得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张。同样由于 “有限可分扩张都是单扩张”，存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$。

　　 于是，$V(\sigma, S)=V(\sigma, \{\alpha\})=\sigma \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 证毕。

定义 1　Krull 拓扑

　　 定理 1 中所描述的 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上的拓扑，又被称为Krull 拓扑。

　　 任取 $H\in\mathcal{M}$，根据定理 2 ，它是个开集。同时它的补集 $H^C$ 是各 $\sigma H$ 的并，其中 $\sigma\not\in H$，而 $\sigma H$ 也都是开集，因此 $H^C$ 是开集——于是 $H$ 还是闭集。同理，$\sigma H$ 也是既开又闭的。

　　 如果 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群，那么可以类比式 3 的原理，推知 Krull 拓扑是个离散拓扑。

定理 3　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张，则 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的 Krull 拓扑是紧致的、Hausdorff 的和完全不连通的。

　　 证明：

　　 任取 $\sigma_i\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，且 $\sigma_1\neq \sigma_2$。则存在 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$，使得 $\sigma_1(\alpha)\neq\sigma_2(\alpha)$。于是取开集 $V(\sigma_i, \{\alpha\})$，即可分离这两个点 $\sigma_i$，得证 Hausdorff 性。

　　 令 $H= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(\mathbb{F}(\alpha))$，则 $\sigma_1\in\sigma_1H$。由于 $\sigma_1^{-1}\sigma_2(\alpha)\neq \alpha$，故 $\sigma_1H\neq\sigma_2H$。而我们已经知道，$\sigma_iH$ 是既开又闭的，也就是连通分支。由于 $\sigma_i$ 的任意性，这意味着任意两个不同的自同构总在不同的连通分支中，故任意连通分支只有一个元素，得证完全不连通性。

　　

未完成：紧致性有点复杂，之后补充。可能需要用到 Tychonoff 定理。

　　 证毕。

Krull 定理

1. ^ 注意，由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 必是 Galois 扩张。但 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 则不一定，取决于它是否正规。
2. ^ 即群指数，子群 $H$ 在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{E}/\mathbb{K})$ 中陪集的数量。
3. ^ 这是因为，任取 $V(f, S)\cap V(g, T)$ 中的元素 $c$，则 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等，故和 $h$ 在 $S$ 上相等；同理可得 $c$ 和 $h$ 在 $T$ 上相等，从而由 $c$ 的任意性知，$V(f, S)\cap V(g, T)\subseteq V(h, S\cup T)$。反过来，任取 $c\in V(h, S\cup T)$，则也可以推知 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等、和 $g$ 在 $T$ 上相等，从而 $V(h, S\cup T)\subseteq V(f, S)\cap V(g, T)$。

                     

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