贡献者： 叶月2_
如果要构建有限维结合代数，我们需要对 basis 的结合作出约束。例如，Grassmann 代数要求反对称性：$\mathrm {e_1e_2}=-\mathrm {e_2e_1}$。实际上，Grassmann 代数是 Clifford 代数的一个平凡特例，或者也可以理解为一般 Clifford 代数上的内嵌结构。本节先给出线性空间上的 Clifford 代数的定义，再用集合语言将其拓展为更一般的 Clifford 代数。
1. 几何代数
定理 1 线性空间的理想
给定域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$，其上有一二次型 $B_q(B_q(v,w)=\frac{1}{2}(q(v+w)-q(v)-q(w)))$.令 $\mathcal T(V)$ 为 $V$ 上的张量代数，那么如下定义的 $\mathcal {I}_q(V)$ 是它的理想:
\begin{equation}
\mathcal{I}_{q}(V)=\left\{\sum A_{k} \otimes(v_k \otimes v_k-q(v_k)) \otimes B_{k} \mid v \in V, A_{k}, B_{k} \in \mathcal{T}(V)\right\}~,
\end{equation}
proof.
环理想首先是加法子群，其次对乘法有 “吸收律”。该定理可以简化成一个更简单的形式。即对于环 $R$ 上的一个非空子集 $S$,我们可以证明该子集生成的理想为
\begin{equation}
\mathcal {I}_S=\left\{\sum _k a_k s_kb_k|k\in \mathbb N ,a_k,b_k\in R,s_k\in S\right\}~,
\end{equation}
检查理想的定义，该集合确实构成加法子群。其次，无论是左乘还是右乘环元素，都能表示为该形式，因而是理想。对于张量代数，乘法为张量积。
定义 1 几何代数
给定域 $\mathbb F$ 上的线性空间 $V$，其上有一二次型 $B_q$.理想同上定义，商代数则为几何代数(geometric algebra)，即
\begin{equation}
\mathcal{G}(V, q) \stackrel{\text { def }}{=} \mathcal{T}(V) / \mathcal{I}_{q}(V)~,
\end{equation}
另外，称 $V$ 为 $\mathcal{G}(V, q)$ 的底空间（
base space）。
划分等价类后，把 $\mathcal{G}(V, q)$ 上的向量积称为几何积，或者Clifford 积，符号可以用 $\cdot$ 或者不写。
观察等价类，我们会发现一项特殊的等价关系。即
\begin{equation}
v\cdot v=q(v)~,
\end{equation}
理想首先是正规子群。回想对正规子群求商集时，若 $a,b$ 等价，即属于同一左陪集，那么 $a^{-1}b$ 属于该正规子群。因而，上式的等价关系实际上指的是
$v \otimes v-q(v)$ 在理想里，显然这是成立的。该等价关系得以让我们把重复的 $\mathrm {e_i}$ 约掉。如果 $\{\mathrm{e_i}\}$ 是线性空间中的正交基，由于
\begin{equation}
\begin{aligned}
q(\mathrm{e_i+e_j,e_i+e_j})&=q(\mathrm{e}_i)+q(\mathrm{e}_j)+2 B_q(\mathrm{e}_i,\mathrm{e}_j)\\
&=\mathrm{e}_i\mathrm{e}_i+\mathrm{e}_j\mathrm{e}_j+\mathrm{e}_i\mathrm{e}_j+\mathrm{e}_j\mathrm{e}_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
因而对于正交基有 $\mathrm{e}_i\mathrm{e}_j=-\mathrm{e}_j\mathrm{e}_i$，满足交换反对称关系。对于 $V$ 中任意的两个向量 $v,w$，由 $q(v+w,v+w)$ 的展开式得到 Clifford 代数下的交换反对称关系：
\begin{equation}
vw+wv=2B_q(v,w)~
\end{equation}
二次型是欧几里得空间中内积定义的推广，因此我们可以把两个向量正交定义为对应的二次型结果为 0.
2. Clifford 代数的形式化定义
几何代数的基域为线性空间，而Clifford 代数的基域是交换幺环。Clifford 代数实际上是交换环上的模。
定义 2 Clifford 代数
给定任意指标集合 $X$，任意给定交换幺环 $R$，任意函数 $s:X\rightarrow {R}$ 作为 $X$ 上的符号。幂集 $2^X$ 可以生成如下自由 R-模：
\begin{equation}
\mathrm{Cl}(X,R,s)=\bigoplus_{2^X}R~,
\end{equation}
称之为 $(X,R,s)$ 上的
Clifford 代数。
例如，给定整数环，指标集为 $\{1,2,3\}$。那么 $Cl(X,R,s)$ 上的一个元素为 $2\{1\}+3\{2,3\}+4\{\}$
$Cl(X,R,s)$ 上的乘法是 $R$-线性的，并且对于 $A,B\in 2^X$ 有
\begin{equation}
AB=\tau(A,B)A\Delta B~,
\end{equation}
其中映射 $2^X \times 2^X \rightarrow R$ 定义为
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
\tau(\{x\},\{x\}) & =s(x), \quad \forall x \in X, \\
\tau(\{x\},\{y\}) & =-\tau(\{y\},\{x\}), \quad \forall x, y \in X, x \neq y, \\
\tau(A, B) & \in\{1,-1\}, \quad \forall A, B \subseteq X, A \cap B=\varnothing, \\
\tau(A, \varnothing) & =\tau(\varnothing, A)=1, \quad \forall A \subseteq X, \\
\tau(A, B) \tau(A \Delta B, C) & =\tau(B, C) \tau(A, B \Delta C), \quad \forall A, B, C \subseteq X~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
从上式我们可以发现其与定义 1 的联系。
- 幂集是张量积空间基底的拓展。因此 $\tau(\{x\},\{x\})$ 是二次型的拓展。当环为域时可以清晰地看见这种联系：$\tau(\{e_i\},\{e_i\})=q(e_i)=s(e_i)$
- 同样的，上式第二条是正交基的反对称性。实际上是 $\mathrm {e_i e_j=-e_j e_i}$。也就是说，如果集合定义要与定义 1 兼容，各单点集需要构成正交基。
- 第三条定义是为了和第二条自洽
- 第四条是 $1\times e_A=e_A\times 1$ 的拓展
- 最后一条实际上是结合律 $(AB)C=A(BC)$，再次强调这里的 $A,B,C$ 是指标集合 $X$ 的子集（默认该子集的指标按从小到大排列），各自相当于张量积空间的基底。即 $\mathrm {(e_A e_B)e_C=e_A(e_B e_C),e_A=e_i/e_i e_j/...}$
- 式 8 实际上说的是 $\mathrm {e_A e_B\propto e_{A\Delta B}}$。比如 $\mathrm {(e_{1}e_{2}e_{3})(e_{2}e_{3}e_{4}e_{5})=-q(e_2)q(e_3)e_1 e_4 e_5}$
下面证明第四条实际上是结合律。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left(e_A e_B\right) e_C & =\tau(A, B) e_{A \Delta B} e_C \\
& =\tau(A, B) \tau(A \Delta B, C) e_{(A \Delta B) \Delta C} \\
& =\tau(B, C) \tau(A, B \Delta C) e_{A \Delta(B \Delta C)} \\
& =\tau(B, C) e_A e_{B \Delta C} \\
& =e_A\left(e_B e_C\right) .
\end{aligned}~,
\end{equation}
从第二行到第三行的推导使用 $(A \Delta B) \Delta C=A \Delta(B \Delta C)$
分次结构
定义 3
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$。定义
\begin{equation}
\mathrm{Cl}^k(X,R,s)=\bigoplus_{A \in 2^X:|A|=k}R~,
\end{equation}
称之为 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$ 的 k 次部分。该子空间中的元素称之为
k-向量
定义 4
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\mathrm{Cl}^{+}(X, R, s)=\bigoplus_{k \text { 为偶数 }} \mathrm{Cl}^k(X, R, s) \\
\mathrm{Cl}^{-}(X, R, s)=\bigoplus_{k \text { 为奇数 }} \mathrm{Cl}^k(X, R, s)
\end{array}~,
\end{equation}