Floquet 理论
贡献者： addis
1Floquet 理论在原子的多光子过程中有大量应用。如果含时哈密顿算符随时间周期 $T$ 变化
\begin{equation}
H(t+T) = H(t)~.
\end{equation}
那么波函数为
\begin{equation}
\psi(x, t) = \exp\left(- \mathrm{i} Et\right) F(x, t)~.
\end{equation}
其中 $F(x, t)$ 同样是时间的周期函数，周期为 $T$。所以又可以展开为傅里叶级数
\begin{equation}
F(x, t) = \sum_{n} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} n\omega t} F_n(x)~.
\end{equation}
代入
式 2 就得到 Floquet-Fourier 展开
\begin{equation}
\psi(x, t) = \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Et} \sum_{n} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} n\omega t} F_n(x)~.
\end{equation}
如果我们令
\begin{equation}
H(t) = H_0 + \sum_{n} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} n\omega t} H_n~,
\end{equation}
一起代入含时薛定谔方程得到一组完全不含时的方程
\begin{equation}
\sum_{i=-\infty}^{+\infty} H_{n-i} F_i(x) = (E + n\omega - H_0) F_n(x)~.
\end{equation}
如果 $H$ 是简谐的
\begin{equation}
H(t) = H_0 + H_+ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} + H_- \mathrm{e} ^{+ \mathrm{i} \omega t}~,
\end{equation}
那么
式 6 化简为
\begin{equation}
H_{+} F_{n-1}(x) + H_{-} F_{n+1}(x) = (E + n\omega - H_0) F_n(x)~.
\end{equation}
1. ^ 参考 [1]
[1] ^ Bransden, Physics of Atoms and Molecules, 2ed