流（微分几何）

贡献者：叶月2_; addis

预备知识　切向量场，前推

　　我们知道，对切向量场积分可以得到一族曲线，比如地球的一系列纬线。如果加上初始条件，便可以确定具体是哪一条曲线。因此，流形 $M$ 上的积分曲线实际上有两个含参变量，设其为 $θ (t, p), \forall p \in M$ 。我们可以固定 $p$ 点为曲线的初始位置，得到一条曲线： $θ_{p} (t)$ ；亦可以固定 $t$ ，得到 $θ_{t} (p) : M \to M$ ，这是光滑的左作用。我们统一这两种视角为： $θ^{p} (t_{0}) = θ^{t_{0}} (p) = θ (t_{0}, p)$ 。

1. 全局流

　　令 $p \in M$ 为曲线的初始位置，即 $θ (0, p) = p$ 。若 $t \in R$ ，我们称曲线族 $θ (t, p) : R \times M \to M$ 为全局流（global flow）。

　　可以证明¹，对于 $θ_{t} (p)$ ,如果 $q = θ_{p} (s)$ ，则 $θ^{(q)} (t) = θ^{(p)} (t + s)$ ，所以该光滑映射满足：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} θ (t, θ (s, p)) & = θ (t + s, p) \\ θ (0, p) & = p . \end{aligned} \end{matrix}

上式的结合律也可以表示为

θ_{t} \circ θ_{s} (p) = θ_{t + s} (p)

。因此

θ

可看作加法群

R

对流形

M

的作用，式 1 便等价于群作用定律：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} θ_{t} \circ θ_{s} & = θ_{t + s}, \\ θ_{0} & = {Id}_{M} . \end{aligned} \end{matrix}

所以全局流又称作单参量群作用（one-parameter group action）。可以证明，

θ_{t} : M \to M

是微分同胚映射²。在后续章节里，我们将利用该映射的前推，以得到光滑切场的李导数。

　　从另一个角度来看，当我们固定 $p$ 时，光滑曲线 $θ_{p} (t)$ 便是 $R$ 对 $p$ 作用的轨道。由于轨道是等价类划分，因而不同轨道相交为空集，这与我们的直觉是符合的。

　　下面我们来证明，全局流都是光滑切场的积分曲线。

定理 1　

　　设 $θ$ 是全局流，对于任意 $p \in M$ ，定义切向量 $V_{p} \in T_{p} M$ 为

\begin{matrix} (3) & V_{p} = θ^{(p)'} (0) = {\frac{\partial}{\partial t} |}_{t = 0} θ (t, p), \end{matrix}

则该切向量集合构成

M

上的光滑切场

V

，并且

θ^{p} (t)

都是

V

的积分曲线。一般称对应于全局流的光滑切场为该曲线的最小生成元（infinitesimal generator）。

　　 证明：

　　首先我们来证明，如上定义的切场是光滑的，即对于任意光滑函数 $f \in C^{\infty} M$ ， $V f \in C^{\infty} M$ 。

　　对于任意 $p \in M$ ，我们有：

\begin{matrix} (4) & V f (p) = V_{p} f = θ^{(p)'} (0) f = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} f (θ^{(p)} (t)) = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} f (θ (t, p)), \end{matrix}

求导之外是光滑函数的复合，因此结果也是光滑函数。接下来我们只需证明，

θ^{(p)'} (t) = V_{θ^{p} (t)}

即可。

　　设 $q = θ_{p} (t_{0}), t_{0} \in R$ ，则我们需要证明 $V_{q} = θ^{(p)'} (t_{0})$ 。

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} V_{q} f & = θ^{(q)'} (0) f \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} f (θ (t, q)) \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} f (θ (t + t_{0}, p)) \\ = {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} f (θ^{p} (t + t_{0})) \\ = θ^{(p)'} (t_{0}) f, \end{aligned} \end{matrix}

定理得证。

　　因为 $θ_{t}$ 为微分同胚映射，因此其对应的前推 $θ_{t *}$ 可以把切场映射为切场。如果存在切场 $S$ 使得 $θ_{*} S = S$ ，即 $θ_{*} S_{p} = S_{θ (p)}$ 则称该切场是不变的。

定理 2　

　　若 $θ$ 是 $M$ 上的全局流，且 $V$ 是其最小生成元，那么 $V$ 在 $θ_{t} (t \in R)$ 下不变。

　　 证明：

　　若 $V$ 在 $θ_{t}$ 下不变，则对于任意 $t_{0} \in R$ 我们有 $(θ_{t_{0}})_{*} V_{p} = V_{θ_{t_{0}} (p)}$ 。作用在任意光滑函数 $f$ 上后有：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} (θ_{t_{0}})_{*} V_{p} f & = V_{p} (f (θ_{t_{0}})) \\ = \frac{d}{d t} |_{t = 0} f (θ_{t_{0}} (p) \circ θ^{p} (t)) \\ = \frac{d}{d t} |_{t = 0} f (θ^{p} (t + t_{0})) \\ = (θ^{p})^{'} (t_{0}) f = V_{θ_{t_{0}} (p)} f . \end{aligned} \end{matrix}

2. 局域流

　　若开集 $D \subset R \times M$ 满足对于任意 $p \in M$ ， $D_{p} = {t \in R : (t, p) \in D}$ 都是包含 0 的开区间，则称之为流域（flow domain）。局域流便是定义在 $D$ 上，且满足以下性质：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} θ (0, p) & = p, \forall p \in M, \\ θ (t, θ (s, p)) & = θ (t + s, p), \forall s \in D_{p} and t \in D_{θ (s, p)} . \end{aligned} \end{matrix}

局域流的最小生成元也是一样的定义。局域流具有和全局流类似的性质，总结为：

引理 1　

　　设 $D$ 为 $M$ 的流域， $θ : D \to M$ 为局域流。则

若固定 $t \in D$ , $M_{t} = {p \in M : (t, p) \in D}$ 是 $M$ 上的开集，且 $θ_{t} : M_{t} \to M$ 微分同胚于 $M$ 上的开集。
结合律始终成立
流的最小生成元为光滑切场
固定任意 $p \in M$ ，都可以得到一条 $V$ 的积分曲线： $θ^{p} : D_{p} \to M$ 。
对于任意 $t \in R$ ， $V$ 都在开集 $θ_{t} (M_{t})$ 上不变。

3. 流的基本定理

1. ^ translation lemma proved in introduction to smooth maniflod
2. ^ 只要证明该映射是双向光滑双射即可。因为是群作用，由消去律可知是单射，又因为 $θ_{t}^{- 1} = θ_{- t}$ ，因此逆映射也是光滑的