贡献者： 叶月2_; addis
我们知道，对切向量场积分可以得到一族曲线，比如地球的一系列纬线。如果加上初始条件，便可以确定具体是哪一条曲线。因此，流形 $M$ 上的积分曲线实际上有两个含参变量，设其为 $\theta(t,p),\forall p\in M$。我们可以固定 $p$ 点为曲线的初始位置，得到一条曲线：$\theta_p(t)$；亦可以固定 $t$，得到 $\theta_t(p):M\rightarrow M$，这是光滑的左作用。我们统一这两种视角为：$\theta^p(t_0)=\theta^{t_0}(p)=\theta(t_0,p)$。
1. 全局流
令 $p\in M$ 为曲线的初始位置，即 $\theta(0,p)=p$。若 $t\in\mathbb R$，我们称曲线族 $\theta(t,p):\mathbb R\times M\rightarrow M$ 为全局流（global flow）。
可以证明1，对于 $\theta_t(p)$,如果 $q=\theta_p(s)$，则 $\theta^{(q)}(t)=\theta^{(p)}(t+s)$，所以该光滑映射满足：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta(t, \theta(s, p)) & =\theta(t+s, p) \\
\theta(0, p) & =p~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式的结合律也可以表示为 $\theta_t \circ \theta_s(p)=\theta_{t+s}(p)$。因此 $\theta$ 可看作加法群 $\mathbb R$ 对流形 $M$ 的作用，
式 1 便等价于群作用定律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta_t \circ \theta_s & =\theta_{t+s}, \\
\theta_0 & =\operatorname{Id}_M~.
\end{aligned}
\end{equation}
所以全局流又称作
单参量群作用（one-parameter group action）。可以证明，$\theta_t:M\rightarrow M$ 是微分同胚映射
2。在后续章节里，我们将利用该映射的前推，以得到光滑切场的李导数。
从另一个角度来看，当我们固定 $p$ 时，光滑曲线 $\theta_p(t)$ 便是 $\mathbb R$ 对 $p$ 作用的轨道。由于轨道是等价类划分，因而不同轨道相交为空集，这与我们的直觉是符合的。
下面我们来证明，全局流都是光滑切场的积分曲线。
定理 1
设 $\theta$ 是全局流，对于任意 $p\in M$，定义切向量 $V_p\in T_p M$ 为
\begin{equation}
V_p=\theta^{(p) \prime}(0)=\left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0} \theta(t, p) ~,
\end{equation}
则该切向量集合构成 $M$ 上的光滑切场 $V$，并且 $\theta^p(t)$ 都是 $V$ 的积分曲线。一般称对应于全局流的光滑切场为该曲线的
最小生成元（infinitesimal
generator）。
证明：
首先我们来证明，如上定义的切场是光滑的，即对于任意光滑函数 $f\in C^{\infty}M$，$Vf\in C^{\infty}M$。
对于任意 $p\in M$，我们有：
\begin{equation}
Vf(p)=V_pf=\theta^{(p)\prime}(0)f=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\right|_{t=0} f\left(\theta^{(p)}(t)\right)=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\right|_{t=0} f(\theta(t, p)) ~,
\end{equation}
求导之外是光滑函数的复合，因此结果也是光滑函数。
接下来我们只需证明，$\theta^{(p) \prime}(t)=V_{\theta^{p}(t)}$ 即可。
设 $q=\theta_p(t_0),t_0\in \mathbb R$，则我们需要证明 $V_q=\theta^{(p)\prime}(t_0)$。
\begin{equation}
\begin{aligned}
V_qf&=\theta^{(q)\prime}(0)f\\
&=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\right|_{t=0} f(\theta(t, q))\\
&=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\right|_{t=0} f(\theta(t+t_0, p))\\
&=\left.\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }\right|_{t=0} f(\theta^p(t+t_0))\\
&=\theta^{(p)\prime}(t_0)f~,
\end{aligned}
\end{equation}
定理得证。
因为 $\theta_t$ 为微分同胚映射，因此其对应的前推 $\theta_{t*}$ 可以把切场映射为切场。如果存在切场 $S$ 使得 $\theta_*S=S$，即 $\theta_*S_p=S_{\theta(p)}
$ 则称该切场是不变的。
定理 2
若 $\theta$ 是 $M$ 上的全局流，且 $V$ 是其最小生成元，那么 $V$ 在 $\theta_t(t\in \mathbb R)$ 下不变。
证明：
若 $V$ 在 $\theta_t$ 下不变，则对于任意 $t_0\in\mathbb R$ 我们有 $(\theta_{t_0})_*V_p=V_{\theta_{t_0}(p)}$。作用在任意光滑函数 $f$ 上后有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
(\theta_{t_0})_*V_pf&=V_p(f(\theta_{t_0}))\\
&=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }|_{t=0}f(\theta_{t_0}(p)\circ\theta^p(t))\\
&=\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} }|_{t=0}f(\theta^p(t+t_0))\\
&=(\theta^p)'(t_0)f=V_{\theta_{t_0}(p)}f~.
\end{aligned}
\end{equation}
2. 局域流
若开集 $D\subset R\times M$ 满足对于任意 $p\in M$，$D_p=\{t\in R:(t,p)\in D\}$ 都是包含 0 的开区间，则称之为流域（flow domain）。局域流便是定义在 $D$ 上，且满足以下性质：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta(0, p) & =p ,\,\forall p \in M, \\
\theta(t, \theta(s, p)) & =\theta(t+s, p),\,\forall s \in \mathcal{D}_{p} \text { and } t \in \mathcal{D}_{\theta(s, p)} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
局域流的最小生成元也是一样的定义。局域流具有和全局流类似的性质，总结为：
引理 1
设 $D$ 为 $M$ 的流域，$\theta:D\rightarrow M$ 为局域流。则
- 若固定 $t\in \mathcal D$, $M_t=\{p \in M:(t, p) \in \mathcal{D}\}$ 是 $M$ 上的开集，且 $\theta_t: M_t\rightarrow M$ 微分同胚于 $M$ 上的开集。
- 结合律始终成立
- 流的最小生成元为光滑切场
- 固定任意 $p\in M$，都可以得到一条 $V$ 的积分曲线：$\theta^p: D_p\rightarrow M$。
- 对于任意 $t\in \mathbb R$，$V$ 都在开集 $\theta_t(M_t)$ 上不变。
3. 流的基本定理
1. ^ translation lemma proved in introduction to smooth maniflod
2. ^ 只要证明该映射是双向光滑双射即可。因为是群作用，由消去律可知是单射，又因为 $\theta^{-1}_t=\theta_{-t}$，因此逆映射也是光滑的