椭圆坐标系、椭球坐标系
贡献者： 零穹; addis
- 3D 图
1. 椭圆坐标系
1 二维平面上的椭圆坐标系（elliptic coordinate system）是一个正交曲线坐标系，它是三种三维正交曲线坐标系定义的基础，这三种正交曲线坐标系为：椭圆柱坐标系（elliptic cylindrical coordinate system）、长椭球坐标系（ellipsoidal coordinate system）和扁椭球坐标系（oblate spheroidal coordinate system）。椭圆坐标系的坐标线为共焦的椭圆和双曲线，椭圆柱坐标系由椭圆坐标系沿垂直于椭圆坐标面的方向投影得到；长（短）椭球坐标系是将椭圆坐标系绕椭圆长（短）轴方向旋转得到。
图 1：平面椭圆坐标系（来自 Wikipedia）
椭圆坐标系上点的位置由 $(\xi,\eta)$ 这 2 个有序实数表示。$\xi$ 的等值曲线为一组共焦椭圆族，焦距为 $2c$；$\eta$ 的等值曲线为一组共焦的双曲线族，其焦点与椭圆族焦点相重。$\xi$、$\eta$ 由直角坐标定义
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x=c\cosh\xi\cdot\cos\eta\\
&y=c\sinh\xi\cdot\sin\eta
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
若令图 1 的横轴和纵轴为直角坐标的 $x, y$ 轴，容易看出椭圆和双曲线的方程分别为
\begin{equation}
\frac{x^2}{c^2\cosh^2\xi}+\frac{y^2}{c^2\sinh^2\xi}=1~,
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{x^2}{c^2\cos^2\eta}-\frac{y^2}{c^2\sin^2\eta}=1~.
\end{equation}
容易证明椭圆坐标系是一个正交曲线坐标系。在某点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处，坐标轴 $\xi$ 和 $\eta$ 的方向分别为 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi $ 和 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta $。 由式 1
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \,\mathrm{d}{x} =c\sinh\xi\cdot\cos\eta \,\mathrm{d}{\xi} -c\cosh\xi\cdot\sin\eta \,\mathrm{d}{\eta} \\
& \,\mathrm{d}{y} =c\cosh\xi\cdot\sin\eta \,\mathrm{d}{\xi} +c\sinh\xi\cdot\cos\eta \,\mathrm{d}{\eta} \\
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi =c\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +c\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
& \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta =-c\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +c\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
\end{aligned}\right.~.
\end{equation}
令椭圆坐标轴 $\xi$、$\eta$ 对应的单位矢量分别为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} $、$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} $，由式 1
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi |}=\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cdot\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta |}=\frac{1}{\alpha} \left(-\cosh\xi\sin\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cdot\cos\eta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\
\end{aligned}\right.~.
\end{equation}
2. 椭圆柱坐标系
椭圆柱坐标系是在椭圆坐标系的基础上增加一垂直于椭圆坐标面的 $z$ 坐标得到，空间一点坐标用 3 个有序数 $(\xi,\eta,z)$ 表示。同样，若用直角坐标系定义椭圆柱坐标系，则
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x=c\cosh\xi\cdot\cos\eta\\
&y=c\sinh\xi\cdot\sin\eta\\
&z=z
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
显然，式 2 、式 3 成立。现在情况变成：$\xi$ 的等值曲面为一组共焦椭圆柱面族，而 $\eta$ 的等值曲面为一组共焦的双曲柱面族，$z$ 的等值面为椭圆坐标面。
只增加垂直于椭圆坐标面的坐标轴 $z$ 意味着，椭圆柱坐标系是一个正交曲线坐标系。其单位矢量为
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \xi |}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}} \left(\sinh\xi\cdot\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cdot\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial \eta |}=\frac{1}{\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}} \left(-\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cdot\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) \\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} =\frac{ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial z }{| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial z |}= \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
以下为了方便书写，令
\begin{equation}
\alpha \equiv \sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}~.
\end{equation}
3. 长椭球坐标系
设二维椭圆坐标系定义在 $xOz$ 平面上，椭圆长轴与 $z$ 轴重合。将椭圆坐标系绕着 $z$ 轴旋转，便可得到长椭球坐标系（而绕 $x$ 轴旋转则得到扁椭球坐标系。不过，在扁椭球坐标系的情况我们仍选择 $z$ 轴为旋转轴，而将焦点置于 $x$ 轴上）。我们将另一坐标记为 $\phi$.
现在，情况是这样的：$\xi$ 的等值曲面为旋转椭球面，$\eta$ 的等值曲面为双叶旋转双曲面。由旋转对称性知，任一过旋转轴 $z$ 轴的平面都是椭圆坐标面（因为该平面与原来的椭圆坐标面等价），那么正交性要求 $\phi$ 坐标线必是垂直于旋转轴 $z$ 轴的平面与旋转椭球面的交线。即 $\phi$ 等值面为一组过旋转轴 $z$ 轴的半平面。这意味着，$\phi$ 等值面用直角坐标表示为
\begin{equation}
y=f(\phi)x~.
\end{equation}
\begin{equation}
y\cos\phi = x\sin\phi\quad(0\geq\phi<2\pi)~.
\end{equation}
\begin{equation}
y = g(\xi,\eta)\sin\phi,\quad
x = g(\xi,\eta)\cos\phi~.
\end{equation}
$\xi$ 和 $\eta$ 的等值面用直角坐标可表示为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{z^2}{c^2\cosh^2\xi}+\frac{x^2+y^2}{c^2\sinh^2\xi}=1~,\\
\frac{z^2}{c^2\cos^2\eta}-\frac{x^2+y^2}{c^2\sin^2\eta}=1~.
\end{aligned}
\end{equation}
式 13 第一式两边乘 $1/\sin^2\eta$，第二式两边乘 $1/\sinh^2\xi$，再相加可消去 $x^2+y^2$ 的项，从而解得
\begin{equation}
z=c\cosh\xi\cos\eta~.
\end{equation}
\begin{equation}
x^2+y^2=c^2\sinh^2\xi\sin^2\eta~.
\end{equation}
\begin{equation}
x^2+y^2=g^2(\xi,\eta)~.
\end{equation}
\begin{equation}
g(\xi,\eta)=c\sinh\xi\sin\eta~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
x=c\sinh\xi\sin\eta\cos\phi~,\\
y=c\sinh\xi\sin\eta\sin\phi~.
\end{aligned}
\end{equation}
综上，长椭球坐标系与直角坐标系有如下关系
\begin{equation}
\begin{aligned}
&x=c\sinh\xi\sin\eta\cos\phi~,\\
&y=c\sinh\xi\sin\eta\sin\phi~,\\
&z=c\cosh\xi\cos\eta~.
\end{aligned}
\end{equation}
当然，这是一个正交曲线坐标系，因为我们正是由正交性条件得到的式 19 。
与椭圆坐标系和椭圆柱坐标系求单位矢量的方法一样，我们得到下面的结果
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\cosh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\sin\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\sinh\xi\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) ~,\\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} -\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) ~,\\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} =\frac{1}{\sqrt{2}\sinh\xi\sin\eta} \left(-\sinh\xi\sin\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
4. 扁椭球坐标系
扁椭球坐标系是由长轴在 $x$ 轴，椭圆坐标面在 $xOz$ 面中的椭圆坐标系绕 $z$ 轴旋转得到的。由此可知，椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为 $c$ 的圆，包含于三维空间的 $xOy$ 平面。称这圆为焦圆，又称为参考圆。
与长椭球坐标系一样的做法，我们可得到扁椭球坐标系与直角坐标系的关系
\begin{equation}
\begin{aligned}
&x=c\cosh\xi\cos\eta\cos\phi~,\\
&y=c\cosh\xi\cos\eta\sin\phi~,\\
&z=c\sinh\xi\sin\eta~.
\end{aligned}
\end{equation}
扁椭球坐标系中坐标的单位矢量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} =\frac{1}{\alpha} \left(\sinh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\sinh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\cosh\xi\sin\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) ~,\\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} =\frac{1}{\alpha} \left(-\cosh\xi\sin\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} -\cosh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} +\sinh\xi\cos\eta \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \right) ~,\\
& \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} =\frac{1}{\sqrt{2}\cosh\xi\cos\eta} \left(-\cosh\xi\cos\eta\sin\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} +\cosh\xi\cos\eta\cos\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
5. 椭圆柱、长（扁）椭球坐标系中的矢量算符
我们先来求三个正交曲线坐标系的拉梅系数 $\Big| \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial q_i \Big|\;(i=1,2,3)$，其中 $q_i$ 为坐标系的 3 个坐标。由式 7 ，得椭圆柱坐标系的拉梅系数
\begin{equation}
H_\xi=H_\eta=c\alpha ~,\quad \quad H_z=1~.
\end{equation}
\begin{equation}
H_\xi=H_\eta=c\alpha~, \quad \quad H_\phi=\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta~.
\end{equation}
\begin{equation}
H_\xi=H_\eta=c\alpha ~,\quad \quad H_\phi=\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta~.
\end{equation}
椭圆柱坐标系中的矢量算符
结合式 4 到式 8 ，注意这里，$u=\xi,v=\eta,w=z,H_\xi=f,H_\eta=g,H_z=h$，得
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{\partial s}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} (c\alpha A_\xi) \\&+ \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(c\alpha A_\eta \right) + \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) A_z \right) \Bigg]~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{1}{c\alpha} \left[ \frac{\partial}{\partial{\eta}} A_z - \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c\alpha A_\eta \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\
&\quad + \frac{1}{c\alpha} \left[ \frac{\partial}{\partial{z}} \left(c\alpha A_\xi \right) - \frac{\partial}{\partial{\xi}} A_z \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}}
+ \\
&\frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(c\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(c\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 s = \frac{1}{c^2 \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left( \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\xi}^{2}} + \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\eta}^{2}} \right) + \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{z}^{2}} ~.
\end{equation}
长椭球坐标系中的矢量算符
这里，$u=\xi,v=\eta,w=\phi,H_\xi=f,H_\eta=g,H_\phi=h$，同样有
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta} \frac{\partial s}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c\sinh\xi\sin\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\sinh\xi\alpha A_\xi) \\&+ \sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta\alpha A_\eta \right) + \frac{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}{\sqrt{2}} \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\phi\Bigg]~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} =& \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta\alpha} \left[\sqrt{2}\sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta
A_\phi \right) - \alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\eta \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\
&+ \frac{1}{\sqrt{2}c\sinh\xi\sin\eta\alpha} \left[\alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\xi - \sqrt{2}\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sinh\xi
A_\phi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}}
\\
&+\frac{1}{c \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 s &= \frac{1}{c^2\sinh\xi\sin\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[\sin\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\sinh\xi \frac{\partial s}{\partial \xi} \right) + \sinh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\sin\eta \frac{\partial s}{\partial \eta} \right) \right] \\
& + \frac{1}{2c^2\sinh^2\xi\sin^2\eta } \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\phi}^{2}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
扁椭球坐标系中的矢量算符
同样的，这里有
\begin{equation}
\boldsymbol\nabla s = \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \xi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} + \frac{1}{c\alpha} \frac{\partial s}{\partial \eta} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}} + \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta} \frac{\partial s}{\partial \phi} \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = &\frac{1}{c\cosh\xi\cos\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) }\Bigg[\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} (\cosh\xi\alpha A_\xi) \\&+ \cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta\alpha A_\eta \right) + \frac{\sinh^2\xi+\sin^2\eta}{\sqrt{2}} \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\phi\Bigg]~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} =& \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta\alpha} \left[\sqrt{2}\cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta
A_\phi \right) - \alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\eta \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\xi}}} \\
&+ \frac{1}{\sqrt{2}c\cosh\xi\cos\eta\alpha} \left[\alpha \frac{\partial}{\partial{\phi}} A_\xi - \sqrt{2}\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\cosh\xi
A_\phi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\eta}}}
\\
&+\frac{1}{c \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[ \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\alpha A_\eta \right) - \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\alpha A_\xi \right) \right] \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 s &= \frac{1}{c^2\cosh\xi\cos\eta \left(\sinh^2\xi+\sin^2\eta \right) } \left[\cos\eta \frac{\partial}{\partial{\xi}} \left(\cosh\xi \frac{\partial s}{\partial \xi} \right) + \cosh\xi \frac{\partial}{\partial{\eta}} \left(\cos\eta \frac{\partial s}{\partial \eta} \right) \right] \\
&+ \frac{1}{2c^2\cosh^2\xi\cos^2\eta } \frac{\partial^{2}{s}}{\partial{\phi}^{2}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}