贡献者： _Eden_
我们继续使用自然单位制，令 $\mu_0=\epsilon_0=c=1$ 来简化表达。依照习惯，上下标使用希腊字母如 $\mu, \nu$ 时，取值范围为 $\{0, 1, 2, 3\}$；使用拉丁字母如 $i, j$ 时，取值范围为 $\{1, 2, 3\}$。约定闵氏时空度规为 $(-1,1,1,1)$。
设一个在闵氏时空中自由运动的（不带电的）粒子，其作用量应当在洛伦兹变换下保持不变。唯一能写出的作用量是
\begin{equation}
S=\int L \,\mathrm{d}{t} =-m\int \,\mathrm{d}{\tau} =-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}~.
\end{equation}
其中 $m$ 为粒子的静止质量，$ \,\mathrm{d}{\tau} $ 为粒子世界线的
固有时间（或者说原时）间隔，即一小段微元的时空距离：
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\tau} =\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} _\mu}=\sqrt{( \,\mathrm{d}{t} )^2-( \,\mathrm{d}{x} )^2-( \,\mathrm{d}{y} )^2-( \,\mathrm{d}{z} )^2}=\sqrt{1-v^2} \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
所以自由粒子的拉氏量为
\begin{equation}
L=-m\sqrt{1-v^2}~.
\end{equation}
如果取非相对论极限 $v\ll 1$，那么 $L_{\rm{non-rel}}=-m+\frac{1}{2}mv^2$，舍去常数项就可以得到 $L=\frac{1}{2}mv^2$，这与牛顿力学体系下自由粒子的拉格朗日量是一致的。
1. 电磁场中粒子的拉氏量
现在考虑带电粒子的拉氏量。根据拉格朗日电磁势中的证明，带电粒子在电磁场中的广义势为 $U=q(\phi- \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )$，根据 $L=T-U$，可以给式 3 增添一项，得到带电粒子的拉氏量
\begin{equation}
L=-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
那么带电粒子的作用量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
S&=\int L \,\mathrm{d}{t} =\int \left(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi +q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \,\mathrm{d}{t} \\
&=\int (-m-q\gamma\phi+q\gamma \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \,\mathrm{d}{\tau} \\
&=\int (-m+qU^\mu A_\mu) \,\mathrm{d}{\tau} ~,
\end{aligned}
\end{equation}
或者可以利用 $U^\mu= \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }$ 将它改写为
\begin{equation}
S=\int -m \,\mathrm{d}{\tau} +qA_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu~,
\end{equation}
其中 $A^\mu=(\phi,A_x,A_y,A_z)=(\phi, \boldsymbol{\mathbf{A}} )$ 是 4-矢量势。带电粒子的作用量具有协变形式，这也是符合我们预期的—作用量具有洛伦兹不变性。
注意到 $A_\mu$ 是时空坐标 $x^\mu$ 的函数。保持时空舞台上的电磁场不变，即 $A_\mu$ 关于 $x^\mu$ 的函数不变，如果对 $x^\mu$ 作变分并保持初始和终止的时空坐标不变，根据最小作用量原理，$\delta S=0$，于是我们有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta S&=\delta \left(-m\int \sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu} +q\int A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu \right) \\
&=-m\int \frac{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \delta ( \,\mathrm{d}{x} ^\mu)}{\sqrt{- \,\mathrm{d}{x} _\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu}}+q\int \left(\delta(A_\mu) \,\mathrm{d}{x} ^\mu + A_\mu \delta( \,\mathrm{d}{x} ^\mu) \right) \\
&=m\int \frac{ \,\mathrm{d}{x} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) +q\int \left(\frac{\partial A_\mu}{\partial x_\nu} \right) \,\mathrm{d}{x} ^\mu \delta x_\nu+q\int A_\mu \,\mathrm{d}\left(\delta x^\mu \right) \\
&=-m\int \,\mathrm{d}{U} _\mu \delta x^\mu+q\int \partial_\nu A_\mu \,\mathrm{d}{x} ^\mu\delta x^\nu-q\int \,\mathrm{d}{A} _\mu \delta x^\mu\\
&=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } + q\partial_\mu A_\nu \frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }-q\partial_\nu A_\mu\frac{ \,\mathrm{d}{x} ^\nu}{ \,\mathrm{d}{\tau} } \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} ~,\\
\end{aligned}
\end{equation}
上面的推导多次用了分部积分。我们定义电磁场张量 $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_\nu-\partial_\nu A_\mu$，那么
\begin{equation}
\delta S=\int \left(-m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }+qF_{\mu\nu}U^\nu \right) \delta x^\mu \,\mathrm{d}{\tau} =0~.
\end{equation}
所以由最小作用量原理得到了洛伦兹力公式（也可以将 $\mu$ 指标上升变成
式 22 的形式）
\begin{equation}
m\frac{ \,\mathrm{d}{U} _\mu}{ \,\mathrm{d}{\tau} }=qF_{\mu\nu} U^\nu~.
\end{equation}
2. 电磁场中粒子的哈密顿量
式 17 描述了非相对论极限下电磁场中粒子的广义动量。在考论相对论粒子时，可以根据式 4 可以计算粒子的广义动量：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{p}} =\frac{\partial L}{\partial \dot { \boldsymbol{\mathbf{q}} }}=\frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} }{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{P}} +q \boldsymbol{\mathbf{A}} ~.
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 为广义坐标（取 $x,y,z$），$ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 为与之共轭的广义动量（或者称正则动量），$ \boldsymbol{\mathbf{P}} =\gamma m \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是粒子的相对论动量。
哈密顿量为
\begin{equation}
\begin{aligned}
H&= \boldsymbol{\mathbf{p}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }-L=\frac{mv^2}{\sqrt{1-v^2}}+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} -(-m\sqrt{1-v^2}-q\phi+q \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )\\
&=\frac{m}{\sqrt{1-v^2}}+q\phi=\sqrt{m^2+ \left(\frac{mv}{\sqrt{1-v^2}} \right) ^2}+q\phi\\
&=\sqrt{m^2+ \boldsymbol{\mathbf{P}} ^2}+q\phi\\
&=\sqrt{m^2+( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2}+q\phi~,
\end{aligned}
\end{equation}
非相对论极限下 $v\ll 1$，则 $( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2 \ll m^2$，此时哈密顿量为
\begin{equation}
H_{\rm{non-rel}}=\frac{1}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{p}} -q \boldsymbol{\mathbf{A}} )^2+q\phi~.
\end{equation}