光与物质粒子的统一（相对论点粒子的作用量）

贡献者：零穹; addis

本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。

预备知识　作用量原理

　　 [1] 本节将从作用量的视角介绍牛顿力学到相对论的自然过渡，最终给出适用于物质粒子和光的作用量。阅读本节需带着 “民主” 的思想：时间和空间、粒子和光应当被平等对待。

1. Newton 力学到狭义相对论

缘起

　　首先看 Newton 力学中物质粒子的 Euler-Lagrange 作用量：

\begin{matrix} (1) & S = \int d t [\frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} - V (x)] . \end{matrix}

这一作用量是相当 “笨重” 的。在这里，让我们只考虑自由粒子，把势

V (x)

给丢掉。那么上式可写为

\begin{matrix} (2) & S = \int d t \frac{1}{2} m {(\frac{d x}{d t})}^{2} = m \int \frac{(d x)^{2}}{2 d t} . \end{matrix}

上式对待

d x

和

d t

的方式是不平等的，

d x

平方的出现来自于旋转不变性，但是为什么

d t

只值得 1 次幂？多么奇怪的组合呀，

\frac{(d x)^{2}}{d t}

，一个东西的平方除以另一个东西。这冒犯了我们自由主义的思想，因此，我们需要进行改变。

平方根

　　让我们回想一下初次学习平方根概念的情景。我们知道，25 的平方根是 5，36 的平方根是 6，等等。但是，对一个不是整数的平方的数，它的平方根是什么？比如 24。使用古老的试错方法：计算 ${4.9}^{2}, {4.8}^{2}, \dots .$ 很快就能很好的估计这个平方根了。在学会了用字母代表数值的想法后，我们就可以得到我们想要的公式：

\begin{matrix} (3) & \sqrt{a^{2} - ϵ^{2}} \approx a - \frac{ϵ^{2}}{2 a} + \dots . \end{matrix}

验证一下右边，

{(a - \frac{ϵ^{2}}{2 a})}^{2} = a^{2} - ϵ^{2} + \frac{ϵ^{4}}{4 a^{2}}

，即：式 3 的误差是高阶的。

写出相对论的作用量

　　比较式 2 和式 3 ，我们改写式 3 为 $\frac{ϵ^{2}}{2 a} \approx - \sqrt{a^{2} - ϵ^{2}} + a + \dots$ 。因此

\begin{matrix} (4) & \frac{(d x)^{2}}{2 d t} = c \frac{(d x)^{2}}{2 c d t} \approx - c \sqrt{(c d t)^{2} - d x^{2}} + c^{2} d t . \end{matrix}

上面第一个等式中添加

c

是为了保持量纲一致，可知

c

具有速度的量纲。注意到唯一具有本征意义的速度是光速，因此

c

代表着光速。因此，我们将自由点粒子的作用量改写为

\begin{matrix} (5) & S = - m c \int \sqrt{(c d t)^{2} - d x^{2}} + \int m c^{2} d t . \end{matrix}

项

\int m c^{2} d t = m c^{2} (t_{final} - t_{intial})

对待

d t, d x

的方式不一样，但幸运的是，它们的变分消失，因此作用量原理允许我们丢掉这一项。令

c = 1

，现在我们得到如下作用量

\begin{matrix} (6) & S = - m \int \sqrt{(d t)^{2} - d x^{2}} . \end{matrix}

这一作用量对待时间和空间的方式相当的 “民主”。然而，积分往往写为

\int d t

的形式，这很简单：

\begin{matrix} (7) & S = - m \int d t \sqrt{1 - {(\frac{d x}{d t})}^{2}} . \end{matrix}

这便得到了相对论自由粒子的作用量。

著名的公式

　　为了回到 Newton 力学，将式 7 展开

\begin{matrix} (8) & S = - m \int d t {\frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} - m + \dots} . \end{matrix}

我们不知道如何结合势能，像式 1 一样，仅仅在式 6 中加入

- \int d t V (x)

，则会在此得到因子

d t

。但若我们有式 1 一样的势能，那么在非相对论极限式 8 下，

m

应该归属于

V (x)

中，即式 8 中的项

m

是一类特殊的势能项。这表明，即使是一个静止的粒子也有能量。若我们恢复

c

，则

\begin{matrix} (9) & S = - m c \int \sqrt{(c d t)^{2} - d x^{2}} = \int d t {\frac{m}{2} {(\frac{d x}{d t})}^{2} - m c^{2} + \dots} . \end{matrix}

因此，对静止的粒子，其具有能量

\begin{matrix} (10) & E = m c^{2} . \end{matrix}

2. 更对称的形式

　　定义对角元为 $(- 1, 1, 1, 1)$ 的对角矩阵 $η_{μ ν}$ ，我们可将相对论自由粒子的作用量写为

\begin{matrix} (11) & S = - m \int \sqrt{- η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}} . \end{matrix}

注意到

η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}

是两邻近点的 Minkowskian 距离的平方，因此粒子的作用量（忽略整体常数因子）是它在时空中所穿越的距离。事实上，我们所能做出的坐标不变的量只能是代表粒子轨迹的世界线的 “长度” 或本征时间，即

\int d τ = \int \sqrt{- η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν}}

。我们称比例因子是粒子的质量。因此，质量可定义为几何（世界线的长度）和物理（作用量）之间的转化因子。

　　需要注意的是，作用量式 11 中的记号 $x^{μ}$ 代表的是粒子的时空坐标，而不是时空本身。这可以通过考虑多个粒子（用指标 $a$ 标记）的作用量看到： $S = - \sum_{a} m_{a} \int \sqrt{- η_{μ ν} d x_{a}^{μ} d x_{a}^{ν}}$ 。为了避免记号的混乱，更好的办法是用 $X^{μ}$ 代表粒子的时空坐标，作用量则写为

\begin{matrix} (12) & S = - m \int \sqrt{- η_{μ ν} d X^{μ} d X^{ν}} . \end{matrix}

3. 无质量粒子的作用量

　　由于作用量式 12 对无质量粒子恒为 0，因此对无质量粒子而言这一作用量是无效的。为了公平的对待粒子和光，我们只需要将式 12 改写为下面的形式

\begin{matrix} (13) & \tilde{S} = - \frac{1}{2} \int d ζ (σ (ζ) {(\frac{d X}{d ζ})}^{2} + \frac{m^{2}}{σ (ζ)}) . \end{matrix}

其中，

{(\frac{d X}{d ζ})}^{2} = - η_{μ ν} \frac{d X^{μ}}{d ζ} \frac{d X^{ν}}{d ζ}

。这一作用量在

m = 0

时是有效的。因此我们，只需要验证式 12 和式 13 等价即可。注意式 13 的动力学变量不光是

X^{μ}

，也包含

σ (ζ)

。而

\frac{d σ}{d ζ}

不在作用量中出现，因此由 Euler-Lagrange 方程，得

σ

满足方程

\begin{matrix} (14) & \frac{m^{2}}{σ (ζ)^{2}} = {(\frac{d X}{d ζ})}^{2} . \end{matrix}

这是代数方程，不是微分方程。因此，

σ

并不具有动力学而仅仅与

X^{μ} (ζ)

相结合。利用式 14 消去

\tilde{S}

中的

σ (ζ)

，便回到了

S

。因此，在产生粒子的运动方程的意义上，两作用量是等价的。

　　现在，令 $m = 0$ ，就得到了无质量粒子适用的作用量

\begin{matrix} (15) & S_{massless} = \frac{1}{2} \int d ζ (σ (ζ) η_{μ ν} \frac{d X^{μ}}{d ζ} \frac{d X^{ν}}{d ζ}) . \end{matrix}

对

σ

变分，可以获得

η_{μ ν} \frac{d X^{μ}}{d ζ} \frac{d X^{ν}}{d ζ} = 0

。换句话说

(d X)^{2} = (d X^{0})^{2}

，即无质量粒子以光速运动。

[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell