贡献者： 零穹; addis
预备知识 作用量原理
[1] 本节将从作用量的视角介绍牛顿力学到相对论的自然过渡，最终给出适用于物质粒子和光的作用量。阅读本节需带着 “民主” 的思想：时间和空间、粒子和光应当被平等对待。
1. Newton 力学到狭义相对论
缘起
首先看 Newton 力学中物质粒子的 Euler-Lagrange 作用量：
\begin{equation}
S=\int \,\mathrm{d}{t} \left[\frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-V(x) \right] ~.
\end{equation}
这一作用量是相当 “笨重” 的。在这里，让我们只考虑自由粒子，把势 $V(x)$ 给丢掉。那么上式可写为
\begin{equation}
S=\int \,\mathrm{d}{t} \frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2=m\int \,\mathrm{d}{t} \frac{( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } )^2}{2 \,\mathrm{d}{t} }~.
\end{equation}
上式对待 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 和 $ \,\mathrm{d}{t} $ 的方式是不平等的，$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 平方的出现来自于旋转不变性，但是为什么 $ \,\mathrm{d}{t} $ 只值得 1 次幂？多么奇怪的组合呀，$\frac{( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } )^2}{ \,\mathrm{d}{t} }$，一个东西的平方除以另一个东西。这冒犯了我们自由主义的思想，因此，我们需要进行改变。
平方根
让我们回想一下初次学习平方根概念的情景。我们知道，25 的平方根是 5，36 的平方根是 6，等等。但是，对一个不是整数的平方的数，它的平方根是什么？比如 24。使用古老的试错方法：计算 $4.9^2,4.8^2,\ldots.$ 很快就能很好的估计这个平方根了。在学会了用字母代表数值的想法后，我们就可以得到我们想要的公式：
\begin{equation}
\sqrt{a^2-\epsilon^2}\approx a-\frac{\epsilon^2}{2a}+\cdots.~
\end{equation}
验证一下右边，$ \left(a-\frac{\epsilon^2}{2a} \right) ^2=a^2-\epsilon^2+\frac{\epsilon^4}{4a^2}$，即：
式 3 的误差是高阶的。
写出相对论的作用量
比较式 2 和式 3 ，我们改写式 3 为
$
\frac{\epsilon^2}{2a}\approx-\sqrt{a^2-\epsilon^2}+ a+\cdots
$。因此
\begin{equation}
\frac{( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } )^2}{2 \,\mathrm{d}{t} }=c\frac{( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } )^2}{2c \,\mathrm{d}{t} }\approx-c\sqrt{(c \,\mathrm{d}{t} )^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}+c^2 \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
上面第一个等式中添加 $c$ 是为了保持量纲一致，可知 $c$ 具有速度的量纲。注意到唯一具有本征意义的速度是光速，因此 $c$ 代表着光速。因此，我们将自由点粒子的作用量改写为
\begin{equation}
S=-mc\int \sqrt{(c \,\mathrm{d}{t} )^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}+\int mc^2 \,\mathrm{d}{t} .~
\end{equation}
项 $\int mc^2 \,\mathrm{d}{t} =m c^2(t_{\mathrm{final}}-t_{\mathrm{intial}})$ 对待 $ \,\mathrm{d}{t} , \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 的方式不一样，但幸运的是，它们的变分消失，因此作用量原理允许我们丢掉这一项。令 $c=1$，现在我们得到如下作用量
\begin{equation}
S=-m\int \sqrt{( \,\mathrm{d}{t} )^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}.~
\end{equation}
这一作用量对待时间和空间的方式相当的 “民主”。然而，积分往往写为 $\int \,\mathrm{d}{t} $ 的形式，这很简单：
\begin{equation}
S=-m\int \,\mathrm{d}{t} \sqrt{1- \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2}.~
\end{equation}
这便得到了相对论自由粒子的作用量。
著名的公式
为了回到 Newton 力学，将式 7 展开
\begin{equation}
S=-m\int \,\mathrm{d}{t} \left\{\frac{m}{2} \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-m+\cdots \right\} .~
\end{equation}
我们不知道如何结合势能，像
式 1 一样，仅仅在
式 6 中加入 $-\int \,\mathrm{d}{t} V(x)$，则会在此得到因子 $ \,\mathrm{d}{t} $。但若我们有
式 1 一样的势能，那么在非相对论极限
式 8 下，$m$ 应该归属于 $V(x)$ 中，即
式 8 中的项 $m$ 是一类特殊的势能项。这表明，即使是一个静止的粒子也有能量。若我们恢复 $c$，则
\begin{equation}
S=-mc\int \sqrt{(c \,\mathrm{d}{t} )^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } ^2}=\int \,\mathrm{d}{t} \left\{\frac{m}{2} \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^2-mc^2+\cdots \right\} .~
\end{equation}
因此，对静止的粒子，其具有能量
\begin{equation}
E=mc^2.~
\end{equation}
2. 更对称的形式
定义对角元为 $(-1,1,1,1)$ 的对角矩阵 $\eta_{\mu\nu}$，我们可将相对论自由粒子的作用量写为
\begin{equation}
S=-m\int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}.~
\end{equation}
注意到 $\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu$ 是两邻近点的 Minkowskian 距离的平方，因此粒子的作用量（忽略整体常数因子）是它在时空中所穿越的距离。事实上，我们所能做出的坐标不变的量只能是代表粒子轨迹的世界线的 “长度” 或本征时间，即 $\int \,\mathrm{d}{\tau} =\int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^\mu \,\mathrm{d}{x} ^\nu}$。我们称比例因子是粒子的质量。因此，质量可定义为几何（世界线的长度）和物理（作用量）之间的转化因子。
需要注意的是，作用量式 11 中的记号 $x^\mu$ 代表的是粒子的时空坐标，而不是时空本身。这可以通过考虑多个粒子（用指标 $a$ 标记）的作用量看到：$S=-\sum_a m_a\int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} _a^\mu \,\mathrm{d}{x} _a^\nu}$。为了避免记号的混乱，更好的办法是用 $X^\mu$ 代表粒子的时空坐标，作用量则写为
\begin{equation}
S=-m\int \sqrt{-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{X} ^\mu \,\mathrm{d}{X} ^\nu}.~
\end{equation}
3. 无质量粒子的作用量
由于作用量式 12 对无质量粒子恒为 0，因此对无质量粒子而言这一作用量是无效的。为了公平的对待粒子和光，我们只需要将式 12 改写为下面的形式
\begin{equation}
\tilde S=-\frac{1}{2}\int \,\mathrm{d}{\zeta} \left(\sigma(\zeta) \left( \frac{\mathrm{d}{X}}{\mathrm{d}{\zeta}} \right) ^2+\frac{m^2}{\sigma(\zeta)} \right) ~.
\end{equation}
其中，$ \left( \frac{\mathrm{d}{X}}{\mathrm{d}{\zeta}} \right) ^2=-\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{X^\mu}}{\mathrm{d}{\zeta}} \frac{\mathrm{d}{X^\nu}}{\mathrm{d}{\zeta}} $。这一作用量在 $m=0$ 时是有效的。因此我们，只需要验证
式 12 和
式 13 等价即可。注意
式 13 的动力学变量不光是 $X^\mu$，也包含 $\sigma(\zeta)$。而 $ \frac{\mathrm{d}{\sigma}}{\mathrm{d}{\zeta}} $ 不在作用量中出现，因此由 Euler-Lagrange 方程，得 $\sigma$ 满足方程
\begin{equation}
\frac{m^2}{\sigma(\zeta)^2}= \left( \frac{\mathrm{d}{X}}{\mathrm{d}{\zeta}} \right) ^2.~
\end{equation}
这是代数方程，不是微分方程。因此，$\sigma$ 并不具有动力学而仅仅与 $X^\mu(\zeta)$ 相结合。
利用
式 14 消去 $\tilde S$ 中的 $\sigma(\zeta)$，便回到了 $S$。因此，在产生粒子的运动方程的意义上，两作用量是等价的。
现在，令 $m=0$，就得到了无质量粒子适用的作用量
\begin{equation}
S_{\mathrm{massless}}=\frac{1}{2}\int \,\mathrm{d}{\zeta} \left(\sigma(\zeta)\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{X^\mu}}{\mathrm{d}{\zeta}} \frac{\mathrm{d}{X^\nu}}{\mathrm{d}{\zeta}} \right) .~
\end{equation}
对 $\sigma$ 变分，可以获得 $\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{X^\mu}}{\mathrm{d}{\zeta}} \frac{\mathrm{d}{X^\nu}}{\mathrm{d}{\zeta}} =0$。换句话说 $( \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{X}} } )^2=( \,\mathrm{d}{X} ^0)^2$，即无质量粒子以光速运动。
[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell