相对论补全

贡献者：零穹

预备知识　协变性和不变性，时空的几何

　　 [1] 在狭义相对论中，Lorentz 变换是给出了两个参考系间的坐标变换关系。特别地，给出了惯性系间的坐标变换关系。狭义相对论的假设之一是，物理定律在所有惯性系中都是相同的。根据协变性和不变性的定义（定义 1 ），这就是说，描述狭义相对论的基本方程被假设在 Lorentz 变换下是协变的，因而狭义相对论的物理在 Lorentz 变换下是不变的。因此，所有的物理量在 Lorentz 变换下必须以一种定义良好的方式变换。而在非相对论下的物理量在相对论的框架下必须进行补全，物理定律应当推广到相对论情形。

1. 物理量的相对论补全

　　 Lorentz 变换是四维时空中一个基底到另一个基底对应的转换矩阵。因此，四维时空的矢量坐标在不同基底下的转换关系必须由 Lorentz 变换连接。$ \,\mathrm{d}{x} ^\mu=( \,\mathrm{d}{t} , \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } )$ 是四维时空中的矢量，即在相对论框架下，三维空间中的矢量（简称 3-矢量）$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 必须和三维空间的标量（简称 3-标量）$ \,\mathrm{d}{t} $ 一起统一成四维空间的矢量（简称 4-矢量），才是狭义相对论下具有良好定义的矢量。

速度补全

　　已知 3-速度定义为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N:= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{t}} $（$N$ 可理解为 Newton 定义的），这是一个 3-矢量除以一个 3-标量，而 $ \,\mathrm{d}{t} $ 恰巧是 4-矢量的时间分量。容易验证，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$ 在 Lorentz 变换下并不像 4-矢量任何分量一样变换。

　　相反，考虑 3-矢量 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } $ 除以一个 Lorentz 标量（在 Lorentz 变换下数值不变的量）$ \,\mathrm{d}{\tau} $（$ \,\mathrm{d}{\tau} ^2:=-\eta_{\mu\nu} \,\mathrm{d}{x} ^{\mu} \,\mathrm{d}{x} ^\nu= \,\mathrm{d}{t} ^2- \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^2} $）。显然，这样得到的量是 4-矢量 $v^\mu:= \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} $ 的空间分量 $v^i$。因此，若定义 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} := \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }}{\mathrm{d}{\tau}} $，则 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的相对论补全是 4-矢量 $v^\mu$。

　　需要澄清的是，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是两个不同的量。出现在因子 $\sqrt{1-v_N^2}$ 中的是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$（不是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $）。当 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N^2\leq1$ 时，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2$ 取值范围遍及 $0$ 到 $\infty$。容易造成混乱的是，人们通常省略掉 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$ 中的下标 $N$，这也是我们常采用的标准做法，只需特别注意这里的提醒。

动量补全和动量守恒推广

　　质量 $m$ 乘以速度 $v^\mu$，得到质量为 $m$，速度为 $v^\mu$ 的粒子的 4-动量 $p^\mu:=mv^\mu=m \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} $。非相对论的 3-动量守恒 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _N=m \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$ 强烈表明 4-动量 $p^\mu$ 也是守恒的。事实上由 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _N$ 为常矢量，得 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$ 为常矢量（因为是 Lorentz 标量 $m$ 是常量），从而

\begin{equation} p^\mu= \left(\frac{m}{\sqrt{1-v_N^2}},\frac{m \boldsymbol{\mathbf{v}} _N}{\sqrt{1-v_N^2}} \right) ~ \end{equation}

即为常矢量。上式即是 3-动量守恒在相对论 4-动量守恒的推广。

　　展开 $p^0=\frac{m}{\sqrt{1-v_N^2}}$，得 $p^0=m+\frac{1}{2}m \boldsymbol{\mathbf{v}} _N^2+o(v_N^2)$，其中 $o(v_N^2)$ 表示 $v_N^2$ 的高阶无穷小量。明显的，第二项是 Newton 动能，因此 $p^0$ 要理解为质量为 $m$ 的粒子的能量。这表明，即使是静止粒子也具有能量，若恢复光速 $c$（以上讨论已经假定 $c=1$ 了），则静止粒子的能量就是 $mc^2$。

　　使用 $ \,\mathrm{d}{\tau} ^2$ 的定义，得

\begin{equation} p^2=\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu=m^2\eta_{\mu\nu} \frac{\mathrm{d}{x^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \frac{\mathrm{d}{x^\nu}}{\mathrm{d}{\tau}} =-m^2.~ \end{equation}

该式就是所谓的质壳条件（mass shell condition），它给出了 $p$ 的一个约束。式 2 对任意粒子（包含 $m=0$），在任一参考系下都是不变的。

粒子数密度补全

　　现在我们考虑粒子数密度 $n(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )$（单位体积中的粒子数）的相对论补全。在 3 维空间的旋转变换下，$n(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 是旋转不变量，因为旋转不会改变体积和体积内的粒子数。因此，一个天真的想法是粒子数密度的相对论补全是一个 Lorentz 标量。然而，事实上并非如此。

　　从物理的角度，想象一个盒子里有一堆粒子，相对盒子运动的观测者来说，盒子在运动的方向将发生一个因子为 $\sqrt{1-v^2}$ 的 Lorentz 收缩，从而体积要乘上 $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ 的因子。因为盒子里的粒子数不变，因此对运动观测者来说，盒子里粒子数密度是静止观测者的 $\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ 倍。换句话说，$n(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 像 4-矢量的时间分量一样变换。因此，粒子数密度在相对论的推广是一个 4-矢量 $n^\mu=(n^0(x),n^i(x))$ 的时间分量 $n^0$。对运动观测者而言，他看到的是粒子的运动，因而看到的一个流密度。因此 $n^\mu$ 代表的是一个 4-流。

　　现在让我们进行数学化处理，以得到更具体的表达式。假设空间中仅有一个粒子集中在原点，那么粒子数密度将由 3 维 delta 函数表示，即 $n(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$。delta 函数的性质 $\int \,\mathrm{d}{^3} xn(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\int \,\mathrm{d}{^3} x\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 确实表明只有一个粒子。现在的任务就是要将 $\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 推广到相对论情形。

　　记粒子的世界线为 $q^\mu(\tau)$，其中参数 $\tau$ 是粒子本征时间。对粒子本身来说 $q^0(\tau)=\tau, \boldsymbol{\mathbf{q}} (\tau)=0$。注意 delta 函数的性质 $\delta(f(x)-f(x_0))=\frac{\delta(x-x_0)}{ \left\lvert f'(x_0) \right\rvert }$，于是

\begin{equation} \begin{aligned} \delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=&\int \,\mathrm{d}{\tau} \delta(x^0-\tau)\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\\ =&\int \,\mathrm{d}{\tau} \left\lvert \frac{\mathrm{d}{q^0(\tau)}}{\mathrm{d}{\tau}} \right\rvert \delta(q^0(x^0)-q^0(\tau))\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\\ =&\int \,\mathrm{d}{\tau} \frac{\mathrm{d}{q^0(\tau)}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta(x^0-q^0(\tau))\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{q}} (\tau))\\ =&\int \,\mathrm{d}{\tau} \frac{\mathrm{d}{q^0}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta^{(4)}(x-q(\tau)).\\ \end{aligned}~ \end{equation}

注意上式使用了 $q^0(\tau)=\tau, \boldsymbol{\mathbf{q}} (\tau)=0,\delta^{(4)}\equiv\delta(x^0)\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$。因为 $\int \,\mathrm{d}{x} ^4\delta^{(4)}(x)=1$，$ \,\mathrm{d}{^4} x$ 是 Lorentz 标量，因此 $\delta^{(4)}(x)$ 是 Lorentz 标量。从而可知

\begin{equation} \int \,\mathrm{d}{\tau} \frac{\mathrm{d}{q^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta^{(4)}(x-q(\tau))~ \end{equation}

是 Lorentz 矢量。因此粒子数密度 $n(t,x)=\delta^{(3)}( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 是相对论扩展为

\begin{equation} \int \,\mathrm{d}{\tau} \frac{\mathrm{d}{q^\mu}}{\mathrm{d}{\tau}} \delta^{(4)}(x-q(\tau))~ \end{equation}

的时间分量。考虑多个粒子，则可定义数量流为

\begin{equation} n^\mu(x):=\sum_a\int \,\mathrm{d}{\tau} _a \frac{\mathrm{d}{q_a^\mu}}{\mathrm{d}{\tau_a}} \delta^{(4)}(x-q_a(\tau_a)).~ \end{equation}

[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell