相对论补全

贡献者：零穹

预备知识　协变性和不变性，时空的几何

　　 [1] 在狭义相对论中，Lorentz 变换是给出了两个参考系间的坐标变换关系。特别地，给出了惯性系间的坐标变换关系。狭义相对论的假设之一是，物理定律在所有惯性系中都是相同的。根据协变性和不变性的定义（定义 1 ），这就是说，描述狭义相对论的基本方程被假设在 Lorentz 变换下是协变的，因而狭义相对论的物理在 Lorentz 变换下是不变的。因此，所有的物理量在 Lorentz 变换下必须以一种定义良好的方式变换。而在非相对论下的物理量在相对论的框架下必须进行补全，物理定律应当推广到相对论情形。

1. 物理量的相对论补全

　　 Lorentz 变换是四维时空中一个基底到另一个基底对应的转换矩阵。因此，四维时空的矢量坐标在不同基底下的转换关系必须由 Lorentz 变换连接。 $d x^{μ} = (d t, d x)$ 是四维时空中的矢量，即在相对论框架下，三维空间中的矢量（简称 3-矢量） $d x$ 必须和三维空间的标量（简称 3-标量） $d t$ 一起统一成四维空间的矢量（简称 4-矢量），才是狭义相对论下具有良好定义的矢量。

速度补全

　　已知 3-速度定义为 $v_{N} := \frac{d x}{d t}$ （ $N$ 可理解为 Newton 定义的），这是一个 3-矢量除以一个 3-标量，而 $d t$ 恰巧是 4-矢量的时间分量。容易验证， $v_{N}$ 在 Lorentz 变换下并不像 4-矢量任何分量一样变换。

　　相反，考虑 3-矢量 $d x$ 除以一个 Lorentz 标量（在 Lorentz 变换下数值不变的量） $d τ$ （ $d τ^{2} := - η_{μ ν} d x^{μ} d x^{ν} = d t^{2} - d x^{2}$ ）。显然，这样得到的量是 4-矢量 $v^{μ} := \frac{d x^{μ}}{d τ}$ 的空间分量 $v^{i}$ 。因此，若定义 $v := \frac{d x}{d τ}$ ，则 $v$ 的相对论补全是 4-矢量 $v^{μ}$ 。

　　需要澄清的是， $v_{N}$ 和 $v$ 是两个不同的量。出现在因子 $\sqrt{1 - v_{N}^{2}}$ 中的是 $v_{N}$ （不是 $v$ ）。当 $v_{N}^{2} \leq 1$ 时， $v^{2}$ 取值范围遍及 $0$ 到 $\infty$ 。容易造成混乱的是，人们通常省略掉 $v_{N}$ 中的下标 $N$ ，这也是我们常采用的标准做法，只需特别注意这里的提醒。

动量补全和动量守恒推广

　　质量 $m$ 乘以速度 $v^{μ}$ ，得到质量为 $m$ ，速度为 $v^{μ}$ 的粒子的 4-动量 $p^{μ} := m v^{μ} = m \frac{d x^{μ}}{d τ}$ 。非相对论的 3-动量守恒 $p_{N} = m v_{N}$ 强烈表明 4-动量 $p^{μ}$ 也是守恒的。事实上由 $p_{N}$ 为常矢量，得 $v_{N}$ 为常矢量（因为是 Lorentz 标量 $m$ 是常量），从而

\begin{matrix} (1) & p^{μ} = (\frac{m}{\sqrt{1 - v_{N}^{2}}}, \frac{m v_{N}}{\sqrt{1 - v_{N}^{2}}}) \end{matrix}

即为常矢量。上式即是 3-动量守恒在相对论 4-动量守恒的推广。

　　展开 $p^{0} = \frac{m}{\sqrt{1 - v_{N}^{2}}}$ ，得 $p^{0} = m + \frac{1}{2} m v_{N}^{2} + o (v_{N}^{2})$ ，其中 $o (v_{N}^{2})$ 表示 $v_{N}^{2}$ 的高阶无穷小量。明显的，第二项是 Newton 动能，因此 $p^{0}$ 要理解为质量为 $m$ 的粒子的能量。这表明，即使是静止粒子也具有能量，若恢复光速 $c$ （以上讨论已经假定 $c = 1$ 了），则静止粒子的能量就是 $m c^{2}$ 。

　　使用 $d τ^{2}$ 的定义，得

\begin{matrix} (2) & p^{2} = η_{μ ν} p^{μ} p^{ν} = m^{2} η_{μ ν} \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ} = - m^{2} . \end{matrix}

该式就是所谓的质壳条件（mass shell condition），它给出了

p

的一个约束。式 2 对任意粒子（包含

m = 0

），在任一参考系下都是不变的。

粒子数密度补全

　　现在我们考虑粒子数密度 $n (t, x)$ （单位体积中的粒子数）的相对论补全。在 3 维空间的旋转变换下， $n (t, x)$ 是旋转不变量，因为旋转不会改变体积和体积内的粒子数。因此，一个天真的想法是粒子数密度的相对论补全是一个 Lorentz 标量。然而，事实上并非如此。

　　从物理的角度，想象一个盒子里有一堆粒子，相对盒子运动的观测者来说，盒子在运动的方向将发生一个因子为 $\sqrt{1 - v^{2}}$ 的 Lorentz 收缩，从而体积要乘上 $\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}$ 的因子。因为盒子里的粒子数不变，因此对运动观测者来说，盒子里粒子数密度是静止观测者的 $\frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}}}$ 倍。换句话说， $n (t, x)$ 像 4-矢量的时间分量一样变换。因此，粒子数密度在相对论的推广是一个 4-矢量 $n^{μ} = (n^{0} (x), n^{i} (x))$ 的时间分量 $n^{0}$ 。对运动观测者而言，他看到的是粒子的运动，因而看到的一个流密度。因此 $n^{μ}$ 代表的是一个 4-流。

　　现在让我们进行数学化处理，以得到更具体的表达式。假设空间中仅有一个粒子集中在原点，那么粒子数密度将由 3 维 delta 函数表示，即 $n (t, x) = δ^{(3)} (x)$ 。delta 函数的性质 $\int d^{3} x n (t, x) = \int d^{3} x δ^{(3)} (x)$ 确实表明只有一个粒子。现在的任务就是要将 $δ^{(3)} (x)$ 推广到相对论情形。

　　记粒子的世界线为 $q^{μ} (τ)$ ，其中参数 $τ$ 是粒子本征时间。对粒子本身来说 $q^{0} (τ) = τ, q (τ) = 0$ 。注意 delta 函数的性质 $δ (f (x) - f (x_{0})) = \frac{δ (x - x_{0})}{| f^{'} (x_{0}) |}$ ，于是

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} δ^{(3)} (x) = & \int d τ δ (x^{0} - τ) δ^{(3)} (x) \\ = & \int d τ | \frac{d q^{0} (τ)}{d τ} | δ (q^{0} (x^{0}) - q^{0} (τ)) δ^{(3)} (x) \\ = & \int d τ \frac{d q^{0} (τ)}{d τ} δ (x^{0} - q^{0} (τ)) δ^{(3)} (x - q (τ)) \\ = & \int d τ \frac{d q^{0}}{d τ} δ^{(4)} (x - q (τ)) . \end{aligned} \end{matrix}

注意上式使用了

q^{0} (τ) = τ, q (τ) = 0, δ^{(4)} \equiv δ (x^{0}) δ^{(3)} (x)

。因为

\int d x^{4} δ^{(4)} (x) = 1

，

d^{4} x

是 Lorentz 标量，因此

δ^{(4)} (x)

是 Lorentz 标量。从而可知

\begin{matrix} (4) & \int d τ \frac{d q^{μ}}{d τ} δ^{(4)} (x - q (τ)) \end{matrix}

是 Lorentz 矢量。因此粒子数密度

n (t, x) = δ^{(3)} (x)

是相对论扩展为

\begin{matrix} (5) & \int d τ \frac{d q^{μ}}{d τ} δ^{(4)} (x - q (τ)) \end{matrix}

的时间分量。考虑多个粒子，则可定义数量流为

\begin{matrix} (6) & n^{μ} (x) := \sum_{a} \int d τ_{a} \frac{d q_{a}^{μ}}{d τ_{a}} δ^{(4)} (x - q_{a} (τ_{a})) . \end{matrix}

[1] ^ A.Zee Einstein Gravity in a Nutshell