贡献者： _Eden_; 叶月2_; JierPeter; addis; ACertainUser
1. 洛伦兹变换
在时间的变换与钟慢效应一节中，我们自然而然地推导出了一维空间中的洛伦兹变换：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x_2 = \frac{x_1 - vt_1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&t_2 = \frac{t_1 - vx_1/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
当然，由于没有哪个惯性系更特殊，考虑到 $K_1$ 相对 $K_2$ 的速度是 $-v$，我们有：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x_1 = \frac{x_2 + vt_2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&t_1 = \frac{t_2 + vx_2/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~.
\end{aligned}\right. \end{equation}
当然了，这一逆变换也是可以手动从
式 1 中解出来的。
例 1 垂直方向上的洛伦兹变换
依然考虑火车模型。现在在火车和铁轨的原点都树一根杆子，从铁轨系看来两根杆子高度相同。请说明为什么从火车系看来两根杆子高度依然相同。（提示：竖直的杆子和水平的杆子本质区别是什么？利用同时性的相对性说明一下。你可能需要考虑 “两个事件的同时性不是绝对的” 以及 “同一个事件在任何参考系都是同一个事件”。）
例 1 的结果说明，尺缩效应和同时性的相对性只发生在火车运动的方向上。这就是说，垂直于火车的坐标轴不会因为火车的运动而发生变化。这就引出了完整版的三维空间中——或者说四维时空中的洛伦兹变换：
图 1：S 与 S'系示意图。参考了安宇等人的《大学物理》
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y'= y\\
&z' = z\\
&t' = \frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~,
\end{aligned}\right.
\qquad\quad
\left\{\begin{aligned}
&x = \frac{x' + vt'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&y = y'\\
&z = z'\\
&t = \frac{t' + vx'/c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}
\end{aligned}\right.
\end{equation}
可以与经典变换（伽利略变换）做对比：
$$
\begin{cases}
x' = x - vt\\
y' = y\\
z' = z\\
t' = t~.
\end{cases}
$$
这里我们应用了多数资料中使用的字母习惯，避免读者造成混淆。在上式中，$x_1=x$，$t_1=t$，$x_2=x'$，$t_2=t'$。
2. 矩阵表示
洛伦兹变换也可以用矩阵表示为：
\begin{equation}
L=
\left(\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
-\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{matrix}\right)~.
\end{equation}
将 $L$ 称为洛伦兹矩阵或洛伦兹变换矩阵。
如果一个事件在 $K_1$ 和 $K_2$ 中的坐标分别是 $\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)$ 和 $\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)$，那么有
\begin{equation}
\left(\begin{matrix} t'\\x'\\y'\\z' \end{matrix}\right)
=
L
\left(\begin{matrix} t\\x\\y\\z \end{matrix}\right)~,
\end{equation}
为了使洛伦兹变换矩阵更具有对称性，我们用 $ct$ 代替 $t$，这样 $ct,x,y,z$ 的量纲就是相同的了。式 1 变成了以下形式：
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&x_2 = \frac{x_1 - vct_1/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\\
&ct_2 = \frac{ct_1 - vx_1/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}~.
\end{aligned}\right.
\end{equation}
此时变换矩阵为（设 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}, \boldsymbol{\mathbf{\beta}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} /c$）
\begin{equation}
\begin{aligned}
L&=
\left(\begin{matrix}
\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& -\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
-\frac{v/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}& 0& 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{matrix}\right)\\
&=
\left(\begin{matrix}
\gamma& -\gamma\beta& 0& 0\\
-\gamma\beta& \gamma& 0& 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{matrix}\right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
如果将时空坐标写成四矢量：$x^{\mu}=(ct,x,y,z)$，洛伦兹变换就可以写成协变形式（为了避免指标混乱，下面记 $(ct',x',y',z')$ 为 $S'$ 系中的时空坐标，$(ct,x,y,z)$ 为 $S$ 系中的时空坐标）：
\begin{equation}
x'^{\mu}={L^\mu}_\nu x^\nu~,
\end{equation}
其中 ${L^\mu}_\nu$ 对应矩阵
式 7 中 $\mu$ 行 $\nu$ 列的元素。
仅仅作为一个不大成熟的类比，我们把伽利略变换写成类似的形式：
$$
L=\left(\begin{matrix}
1& 0& 0& 0\\
-\beta& 1& 0& 0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1
\end{matrix}\right)~.
$$
rapidity 表示法
因为 $0< v/c<1$，我们可以令 $\frac{v}{c}= \operatorname {tanh}{\theta}$，式 4 便可以简洁表示为
\begin{equation}
L_x=\left(\begin{array}{cccc} \operatorname {cosh}\theta & - \operatorname {sinh}\theta & 0 & 0 \\ - \operatorname {sinh}\theta & \operatorname {cosh}\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)
~,\end{equation}
表示沿 $x$ 轴的推促变换，并称 $\theta$ 为
快度（rapidity）。同理可得沿其他轴的推促变换形式：
\begin{equation}
L_y= \begin{pmatrix} \operatorname {cosh}\theta&0&- \operatorname {sinh}\theta&0\\0&1&0&0\\- \operatorname {sinh}\theta&0& \operatorname {cosh}\theta&0\\0&0&0&1\end{pmatrix} ,L_z=\left(\begin{array}{cccc}
\cosh \theta & 0 & 0 & -\sinh \theta \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-\sinh \theta & 0 & 0 & \cosh \theta
\end{array}\right)~.
\end{equation}
这种表示手段还具有 “结合性”，读者可验证，$L_i(\theta_1)L_i(\theta_2)=L_i(\theta_1+\theta_2),i=x,y,z$。
3. 任意方向的洛伦兹变换
设参考系 $S'$ 以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对于参考系 $S$ 运动。
那么 $S$ 参考系中时空坐标 $(t, \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在 $S'$ 参考系中的坐标为 $(t', \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$。可以将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 平行于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的分量和垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的分量分别考虑，根据洛伦兹变换，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{r}} '_{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\perp}~,\\
& \boldsymbol{\mathbf{r}} '_{\parallel}=\gamma( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\parallel}- \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ct)~,\\
&ct'=\gamma(ct-\beta r_{\parallel})~.
\end{aligned}
\end{equation}
可以用点乘等矢量运算表示出 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\parallel$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _\perp$：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _{\parallel}=\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}, \boldsymbol{\mathbf{r}} _{\perp}= \boldsymbol{\mathbf{r}} -\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}~.
\end{equation}
因此洛伦兹变换公式可以改写成
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\mathbf{r}} '= \boldsymbol{\mathbf{r}} -\gamma \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ct+(\gamma-1)\frac{( \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} }{v^2}~,\\
&ct'=\gamma ct-\gamma\frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} }{c}=\gamma ct-\gamma \boldsymbol{\mathbf{r}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{\beta}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
相应的洛伦兹矩阵为（以 $(ct, \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为时空坐标）
\begin{equation}
\begin{aligned}
{L^\mu}_\nu&=
\left(\begin{matrix}
\gamma& -\gamma v_1/c & -\gamma v_2/c& -\gamma v_3/c\\
-\gamma v_1/c&1+(\gamma-1)v_1v_1/v^2& (\gamma-1)v_2v_1/v^2&(\gamma-1)v_3v_1/v^2\\
-\gamma v_2/c &(\gamma-1)v_1v_2/v^2&1+(\gamma-1)v_2v_2/v^2&(\gamma-1)v_3v_2/v^2)\\
-\gamma v_3/c&(\gamma-1)v_1v_3/v^2)&(\gamma-1)v_3v_2/v^2&1+(\gamma-1)v_3v_3/v^2
\end{matrix}\right)\\
&=\left(\begin{matrix}
\gamma & -\gamma v_j/c \\
-\gamma v_i/c & \delta_{ij}+(\gamma-1)v_iv_j/v^2
\end{matrix}
\right)\\
&=\left(\begin{matrix}
\gamma & -\gamma \beta_j \\
-\gamma \beta_i & \delta_{ij}+(\gamma-1)v_iv_j/v^2
\end{matrix}
\right)~.
\end{aligned}
\end{equation}
对于两个四矢量 $p^\mu,q^\mu$，可以构造洛伦兹不变量 $p^\mu q_\mu=\eta_{\mu,\nu}p^\mu q^\nu$，代表的意义是 $p$ 和 $q$ 的 “点乘”，只不过是闵可夫斯基空间度规下的点乘。以 $x^\mu$ 为例，$\sqrt{-x^\mu x_\mu}=\sqrt{c^2t^2-x^2-y^2-z^2}$ 是洛伦兹不变量，其物理意义是原点到 $x^\mu$ 的时空距离。由于 $\eta_{\mu\nu}p^\mu q^\nu$ 在洛伦兹变换下是保持不变的，所以有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\eta_{\mu\nu}p'^\mu q'^\nu&=\eta_{\mu\nu}({L^\mu}_\rho p^\rho) ({L^\nu}_\sigma q^\sigma)\\
&=\eta_{\mu\nu}{L^\mu}_\rho {L^\nu}_\sigma p^\rho q^\sigma
\\
&=\eta_{\rho\sigma} p^\rho q^\sigma~.
\end{aligned}
\end{equation}
上式对任意的四矢量 $p^\mu,q^\mu$ 都成立，这体现了洛伦兹变换的一个性质：
\begin{equation}
\eta_{\mu\nu}{L^\mu}_\rho {L^\nu}_\sigma=\eta_{\rho\sigma}~,
\end{equation}
即洛伦兹变换是保度规的。
我们上面讨论的洛伦兹变换是不含转动的，仅仅涉及到 boost1。可以对洛伦兹变换进行推广。一个普通的洛伦兹变换需要满足的唯一要求是 式 16 。这样的变换除了 boost 以外，还包括三维空间的转动（当然也包括单位元）。所有这样的变换构成一个群，我们把它称为洛伦兹群。
1. ^ 一些参考书将其译为 “推促”，表示一个参考系以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 相对于另一参考系运动。
