电场的高斯定律证明

贡献者： addis

预备知识　电场的高斯定律，球坐标系中的梯度散度

　　以下我们用使用库仑定律和散度定理严谨地证明电场的高斯定律。

　　我们先看一个位于坐标原点，电荷为 $q$ 的点电荷产生的电场（式 4 ）

\begin{matrix} (1) & E (r) = \frac{q}{4 π ϵ_{0}} \frac{\hat{r}}{r^{2}} . \end{matrix}

要计算某点的散度，最方便的做法是使用球坐标的散度算子（式 2 ）得

\begin{matrix} (2) & \nabla \cdot \frac{\hat{r}}{r^{2}} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{1}{r^{2}}) = 0 . \end{matrix}

注意由于式 1 在原点处无定义，也不存在偏导数，该结论不适用于

r = 0

。

　　由于散度算符是线性的，即使空间中有许多点电荷，第 $i$ 个产生的电场为 $E_{i} (r)$ ，空间中任何点（除了点电荷的位置）的电场散度都为零。

\begin{matrix} (3) & \nabla \cdot (\sum_{i} E_{i}) = \sum_{i} \nabla \cdot E_{i} = 0 . \end{matrix}

我们还是假设只有一个点电荷位

q

于坐标原点，现在我们以原点为球心做一个半径为任意

R > 0

的球面

S

，并计算电场在球面上的通量为

\begin{matrix} (4) & Φ = \oint_{S} E \cdot d s = \frac{q}{4 π ϵ_{0} R^{2}} \cdot 4 π R^{2} = \frac{q}{ϵ_{0}} . \end{matrix}

然而根据散度定理（式 1 ），如果

\nabla \cdot E

在球内处处为零，应该有

Φ = 0

才对。所以问题应该出在原点，由于散度定理要求矢量场在闭合曲面内部处处可偏导，所以式 4 的结果并不严格适用于散度定理¹。

绕开奇点

　　我们可以以另一种方式避开 $r = 0$ 处的奇点使用散度定理。结合式 3 和式 4 ，可以用散度定理证明：如果在球面 $S$ 外部再任取一个闭合曲面 $S^{'}$ （正方向也向外），那么电场在 $S^{'}$ 上的通量应该也是相同的：

　　我们把这两个曲面共同看成是它们之间的球壳形体积 $\bar{V}$ 的内外表面（但 $S$ 的正方向需要改变）。而 $\bar{V}$ 中散度处处有定义且等于零，所以由散度定理得内外表面的电场总通量也为零

\begin{matrix} (5) & Φ = - \oint_{S} E (r) \cdot d s + \oint_{S^{'}} E (r) \cdot d s = \int_{\bar{V}} \nabla \cdot E (r) d V = 0, \end{matrix}

移项可得两个面积分相等。证毕。

　　所以，对于任意两个包含同一个点电荷 $q$ 的曲面（正方向都向外），电场在它们上的通量都等于 $q / ϵ_{0}$ ，而 $q$ 也不一定需要在原点。再根据电场的叠加原理和点乘的分配律（式 8 ），如果曲面内有多个点电荷 $q_{1}, \dots, q_{N}$ ，那么它们在曲面上的通量等于每个点电荷产生的通量之和，即

\begin{matrix} (6) & \oint_{S} E (r) \cdot d s = \frac{1}{ϵ_{0}} \sum_{i} q_{i}, \end{matrix}

这就证明了高斯定律的积分形式。若曲面内的电荷是连续分布的，我们只需要把求和变为对

S

内部的电荷密度分布

ρ (r)

的体积分即可

\begin{matrix} (7) & \oint_{S} E (r) \cdot d s = \frac{1}{ϵ_{0}} \int ρ (r) d V . \end{matrix}

注意如果电荷密度

ρ (r)

处处为有限值，那么电场的散度也将处处有定义。对比散度定理可得空间中任意一点

r

处电场的散度与电荷密度成正比。

\begin{matrix} (8) & \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \end{matrix}

这就证明了电场高斯定律的微分形式。

1. ^ 但有办法可以弥补，见 “点电荷电场的散度”