介质中的静电场

贡献者： FFjet; ACertainUser

预备知识 1　电极化强度与极化电荷的关系

　　如果把激发外电场的原有电荷系称为自由电荷，并用 $\mathbf E_0$ 表示它们所激发的电场强度，而用 $\mathbf E'$ 表示极化过程完成之后极化电荷所激发的电场强度。那么，空间任一点最终的合电场强度 $\mathbf E $ 应是上述两类电荷所激发电场强度的矢量和，即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{E}} _{0} + \boldsymbol{\mathbf{E}} '~. \end{equation}

　　由于在电介质中，自由电荷的电场与极化电荷的电场的方向总是相反，所以在电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 与外电场强度 $\mathbf E_0$ 相比显著地削弱了。

1. “电位移矢量” 及其高斯定律

预备知识 2　麦克斯韦方程组

　　考虑到 Maxwell 方程中电场的高斯定律 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~.$$ 其中的电荷应包括两项，自由电荷与极化电荷 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho_f+\rho_P}{\epsilon_0}~.$$ 又因为 $$\rho_P=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} ~,$$ 所以 $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho_f- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\epsilon_0}~,$$ $$\epsilon_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} = \rho_f~.$$ 定义电位移矢量

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} ~. \end{equation}

那么

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho_f~. \end{equation}

这就是电位移矢量的高斯定律。在介质中使用电位移矢量的高斯定律有时会比直接使用电场的高斯定律简单，因为此时无需考虑极化电荷，而只需考虑自由电荷。

2. 线性电介质电极化强度与合电场强度的关系

　　对于各向同性线性电介质，电极化强度 $\mathbf P $ 和介质内部的合电场强度 $\mathbf E $ 的关系为

\begin{equation} \mathbf P=\chi_{\mathrm e} \varepsilon_{0} \mathbf E~. \end{equation}

式中的比例因数 $\chi_{\mathrm{e}}$ 和电介质的性质有关，叫做电介质的电极化率（electric susceptibility），是量纲为 $1 $ 的量。

　　此时，电位移矢量可以写为 $$ \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \chi_{\mathrm e} \varepsilon_{0} \mathbf E = \epsilon_0(1+\chi_{\mathrm e}) \boldsymbol{\mathbf{E}} ~, $$

　　定义相对介电系数与介电系数

\begin{align} \epsilon_r &= 1+\chi_{\mathrm e}~,\\ \epsilon &= \epsilon_0 \epsilon_r~. \end{align}

那么

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \epsilon_r \boldsymbol{\mathbf{E}} = \epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

3. 例子：线性电介质内部电场强度被削弱的情况

图 1：电介质中的电场强度

　　为了定量地了解电介质内部电场强度被削弱的情况，我们讨论如下特例：图 1 表示在两块 “无限大” 极板间充有电极化率为 $\chi_\mathrm{e}$ 的均匀电介质，设两极板上的自由电荷面密度为 $\pm \sigma_0$，电介质表面上的极化电荷面密度为 $\pm \sigma^\prime$。自由电荷的电场强度大小 $E_{0}=\sigma_{0} / \varepsilon_{0}$，在图中用实线表示；极化电荷的电场强度大小为 $E^{\prime}=\sigma^{\prime} / \varepsilon_{0}$，在图中用虚线表示。$\mathbf E^\prime$ 的方向和 $\mathbf E_0$ 的方向相反，因此极板间电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 的大小为

\begin{equation} E=E_{0}-E^{\prime}=\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}-\frac{\sigma^{\prime}}{\varepsilon_{0}}~. \end{equation}

考虑到极化电荷面密度为 $\sigma$，极板间电介质中的合电场强度 $\mathbf E $ 的大小又可写为

\begin{equation} E=E_{0}-\frac{P}{\varepsilon_{0}}=E_{0}-\chi_{\mathrm e} E~, \end{equation}

即

\begin{equation} E=\frac{E_{0}}{1+\chi_{\mathrm{e}}}~. \end{equation}

说明电介质内部的电场强度 $E $ 被削弱为外电场强度 $E_0$ 的 ${1+\chi_{\mathrm{e}}}$。下面我们将看到 $({1+\chi_{\mathrm{e}}})$ 正是电介质的相对电容率 $\varepsilon_\mathrm{r}$。我们知道，两极板间的电势差为

\begin{equation} U=E d=\frac{\sigma_{0} d}{\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm e}\right)}~. \end{equation}

设极板的面积为 $S$，则极板上总的电荷量为 $q=\sigma_{0} S$，按电容器电容的定义，极板间充满均匀电介质后的电容为

\begin{equation} C=\frac{q}{U}=\frac{\varepsilon_{0}\left(1+\chi_{\mathrm e}\right) S}{d}=\left(1+\chi_{\mathrm e}\right) C_{0}~. \end{equation}

而我们知道 $C=\varepsilon_\mathrm{r}C_0$，所以

\begin{equation} \varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{e}}~, \end{equation}

这就解释了电容器中充满电介质后其电容增大的实验事实。又令

\begin{equation} \varepsilon=\varepsilon_{r} \varepsilon_{0}=\left(1+\chi_{\mathrm{e}}\right) \varepsilon_{0}~, \end{equation}

称作电介质的电容率或介电常量。与真空中的电容率 $\varepsilon_0$ 有相同的单位。电极化率 $\chi_{\mathrm{e}}$、相对电容率 $\varepsilon_\mathrm{r}$，和电容率 $\varepsilon$ 都是表征电介质性质的物理量，三者中知道任何一个即可求得其他两个。

　　这里要特别说明一点，式 13 虽然是从平行板电容器中均匀电介质的特例引出的，但它却是普遍适用的。而式 10 表明，在均匀电介质充满整个电场的情况下，电介质内部的电场强度 $E $ 为电场强度 $E_0$ 的 $1/\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍，这一结论并不是普遍成立的，但电介质内部的电场强度通常要减弱，这个现象却是普遍成立的。

4. 其余电介质的简要介绍

　　此外做一个小扩展，上面研究的是各向同性电介质，电极化率和电容率都是常量，但自然界也存在一些电介质，在一定的温度范围内电容率随电场强度而变化，它们的极化规律有着复杂的非线性关系。例如钛酸钡等，在外电场撤除后仍保留有剩余的极化，这样的材料称作铁电体，另一类电介质在外力的作用下发生机械变形（拉伸或压缩）时，也能产生电极化现象，称作压电效应。如石英晶体等就具有压电效应。压电效应的反效应叫做电致伸缩，即晶体在电场中会产生伸长或收缩的效应。还有一类材料在外电场撤销后，会长期保留其极化状态，就像永磁体保留有磁性一样。这样的电介质称作永驻体。上述这些具有特殊性质的材料有着重要的应用，可以制成各种换能器和传感器，满足人们不同的需求。它们是材料科学的基础研究内容之一。