贡献者： ACertainUser; addis
这里推导介质中麦克斯韦方程组的 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的那条。
1. 磁化电流
首先证明磁介质产生的磁化电流。假设磁偶极子都是小线圈组成，曲面内部净电流为零，曲面边界只有穿过小线圈才能在曲面上产生净电流。
\begin{equation}
I = I_1 (\pi R^2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ) n = \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\oint \boldsymbol{\mathbf{j}} _M \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \oint \boldsymbol{\mathbf{M}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~.
\end{equation}
根据散度定理，
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _M~.
\end{equation}
证毕。
2. 极化电流
再来看电介质的极化电流。我们已经知道电偶极子会导致极化电荷：
$$\rho_P=- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} ~.$$
因此我们合理地相信，如果某些因素（比如，外电场的变化）改变了电偶极子的密度，那么极化电荷密度也可能变化。
$$ \frac{\partial \rho_P}{\partial t} =- \frac{\partial \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} =- \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} ~.$$
而根据电荷守恒，变化的电荷必然对应一个电流
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} =0~.$$
因此
$$
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} _P - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} =0~,
$$
即变化的电偶极子产生极化电流。
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{j}} _p = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }}{\mathrm{d}{t}} ~.
\end{equation}
当然，就我们的假设
而言，介质中的电荷仅仅是在小范围内重新分布，并没有真正地从介质的一端运动到另一端。
3. $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 的环路定律
将自由电流、磁化电流、极化电流都带入 Maxwell 方程的广义安培环路定律
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \mu_0 ( \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\mathbf{j}} _M + \boldsymbol{\mathbf{j}} _p + \boldsymbol{\mathbf{j}} _E) = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \mu_0 \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \mu_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
因此，
\begin{align}
\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } &= \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{P}} }{\partial t} + \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{E}} }{\partial t} \\
\frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{B}} } - \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{M}} &= \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial (\epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} )}{\partial t} ~.\\
\end{align}
定义
磁场强度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{H}} = \frac{ \boldsymbol{\mathbf{B}} }{\mu_0} - \boldsymbol{\mathbf{M}} ~,
\end{equation}
且注意到右侧第二项即为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 关于时间的导数。因此
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{j}} _f + \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{D}} }{\partial t} ~.
\end{equation}
4. 线性磁介质的假设
另外，若假设磁介质为线性，则有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{M}} = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{H}} ~,
\qquad
\mu_r = 1 + \chi_M~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} /\mu~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{j}} _M = \chi_M \boldsymbol{\mathbf{j}} _f~.
\end{equation}
这就是说，$\chi > 0$ 的磁介质会使电流加强。