有限差分

贡献者：零穹

预备知识　高阶导数（简明微积分）

　　在实际当中，由于计算机的内存总是有限的，不可能存储一个连续的数据（因为实数的稠密性告诉我们：任意两实数之间有无穷多的数），甚至不可能存储一个小数点后有无限位数的实数。所以在计算机进行求导计算时自变量 $x$ 的变化 $Δ x$ 不可能取到无限小，即微分 $d f (x)$ 不可能实现，转而只能取一有限大小的 $Δ x$ ，与微分相对应，此时 $Δ f (x)$ 称为差分。

定义 1　差分

　　设函数 $f (x)$ 定义在某区间 $X$ 上，给定自变量 $x$ 任一固定增量 $Δ x$ 。称

\begin{matrix} (1) & Δ f (x) = f (x + Δ x) - f (x), \end{matrix}

为函数

f (x)

的一阶差分。显然一阶差分也是

x

的函数（因为

Δ x

固定），一阶差分的差分称为二阶差分。 $n$ 阶差分可归纳定义为

\begin{matrix} (2) & Δ^{n} f (x) = Δ [Δ^{n - 1} f (x)] . \end{matrix}

定理 1　差分公式

　　 $n$ 阶差分 $Δ^{n} f (x)$ 具有如下公式

\begin{matrix} (3) & Δ^{n} f (x) = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} C_{n}^{i} f (x + (n - i) Δ x) . \end{matrix}

其中，

C_{n}^{i}

为组合数。

　　式 3 表明， $n$ 阶差分可直接用函数 $f (x)$ 本身在等距分点

\begin{matrix} (4) & x, x + Δ x, \dots, x + n Δ x \end{matrix}

表示出。

定理 2　差分与导数关系

　　设函数 $f (x)$ 在闭区间 $[x_{0}, x_{0} + n Δ x]$ 上有直到 $n - 1$ 阶连续导数，且至少在开区间 $(x_{0}, x_{0} + n Δ x)$ 上有直到 $n$ 阶有限导数 $f^{(n)} (x)$ 。于是成立下面公式

\begin{matrix} (5) & Δ^{n} f (x_{0}) = f^{(n)} (ξ_{n}) Δ x^{n}, x_{0} < ξ_{n} < x_{0} + n Δ x . \end{matrix}

　　若在点 $x_{0}$ 处导数 $f^{(n)} (x)$ 存在且连续，则让 $Δ x \to 0$ （此时 $ξ_{n} \to x_{0}$ ），得

\begin{matrix} (6) & f^{(n)} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ^{n} f (x_{0})}{Δ x^{n}}, \end{matrix}

这个公式给出了用一次极限步骤求得

n

阶导数的可能性。

1. 证明

定理 1 的证明

　　当 $n = 1, 2$ 时，定理显然成立：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} Δ f (x) = & f (x + Δ x) - f (x) \\ = & \sum_{i = 0}^{1} (- 1)^{i} C_{1}^{i} f (x + (1 - i) Δ x), \\ Δ^{2} f (x) = & Δ (Δ f (x)) = Δ f (x + Δ x) - Δ f (x) \\ = & f (x + 2 Δ x) - 2 f (x + Δ x) + f (x) \\ = & \sum_{i = 0}^{2} (- 1)^{i} C_{2}^{i} f (x + (2 - i) Δ x) . \end{aligned} \end{matrix}

假设

n = k

时，式 3 成立，即

\begin{matrix} (8) & Δ^{k} f (x) = \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} C_{k}^{i} f (x + (k - i) Δ x) . \end{matrix}

那么

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} Δ^{k + 1} f (x) = & Δ (Δ^{k} f (x)) = Δ (\sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} C_{k}^{i} f (x + (k - i) Δ x)) \\ = & \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} C_{k}^{i} Δ f (x + (k - i) Δ x) \\ = & \sum_{i = 0}^{k} (- 1)^{i} C_{k}^{i} [f (x + (k + 1 - i) Δ x) - f (x + (k - i) Δ x)] \\ = & f (x + (k + 1) Δ x) + \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i} C_{k}^{i} f (x + (k + 1 - i) Δ x) \\ + \sum_{i = 0}^{k - 1} (- 1)^{i + 1} C_{k}^{i} f (x + (k - i) Δ x) + (- 1)^{k + 1} f (x) \\ = & f (x + (k + 1) Δ x) + \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i} (C_{k}^{i} + C_{k}^{i - 1}) f (x + (k + 1 - i) Δ x) + (- 1)^{k + 1} f (x) \\ = & f (x + (k + 1) Δ x) + \sum_{i = 1}^{k} (- 1)^{i} C_{k + 1}^{i} f (x + (k + 1 - i) Δ x) + (- 1)^{k + 1} f (x) \\ = & \sum_{i = 0}^{k + 1} (- 1)^{i} C_{k + 1}^{i} f (x + (k + 1 - i) Δ x) . \end{aligned} \end{matrix}

第三个等式用到了

Δ x

固定这一事实，

C_{k}^{i} + C_{k}^{i - 1} = C_{k + 1}^{i}

见式 6 。

　　 证毕！

定理 2 证明

　　当 $n = 1$ 时，式 5 便是拉格朗日公式式 1 。

　　假设 $n$ 为 $n - 1$ 时，式 5 成立。则

\begin{matrix} (10) & Δ^{n} f (x_{0}) = Δ (Δ^{n - 1} f (x_{0})) = [f^{n - 1} (ξ_{n - 1} + Δ x) - f^{n - 1} (ξ_{n - 1})] Δ x^{n - 1} . \end{matrix}

其中，

x_{0} < ξ_{n - 1} < x_{0} + (n - 1) Δ x

。上式右边应用拉格朗日公式式 1 ，便得式 5 ，且

\begin{matrix} (11) & x_{0} < ξ_{n - 1} < ξ_{n} < ξ_{n - 1} + Δ x < x_{0} + n Δ x . \end{matrix}