微分中值定理

贡献者： JierPeter; _Eden_; Giacomo

预备知识　导数

1. 一点准备

定义 1　函数极值

　　考虑实函数 $f (x)$ 。如果存在一个实数轴上的开集 $O$ ，且有 $x_{0} \in O$ ，使得对于任意的 $x \in O$ ，都有 $f (x_{0}) \geq f (x)$ ，则称 $f (x_{0})$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极大值（maximum）；如果 $x_{0}$ 满足的条件改为对于任意的 $x \in O$ ，都有 $f (x_{0}) \leq f (x)$ ，则称 $f (x_{0})$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极小值（minimum）。

　　极大值和极小值统称为极值（extremum）。

　　如果 $f (x_{0})$ 是一个极大值，那么称 $x_{0}$ 是一个极大值点（maximum point）；相应地，极小值对应的自变量 $x_{0}$ 是一个极小值点（minimum point）。极大值点和极小值点统称极值点（extremum point）。

　　简单来说，极大值的意思就是，取包含极大值点的足够小的范围，那么范围内的所有函数值都小于等于极大值。极小值则反过来，范围内的函数值都大于等于它。

　　我们要求 “存在一个开集 $O$ ”，实际上就是在说存在一个范围。

例 1　

　　考虑实函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，如图 1 所示。

图 1：

f (x) = x^{3} - x

的函数图像。

　　在 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处， $f$ 取极小值，但显然不是最小值。

　　在 $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处， $f$ 取极大值，也显然不是最大值。

定理 1　Fermat 定理

　　考虑实函数 $f (x)$ 。如果 $x_{0}$ 是 $f$ 的一个极值点，且 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，那么 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 。

　　证明：

　　假设 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处可导且取极大值，并反设 $f^{'} (x_{0}) > 0$ ¹。

　　那么由于可导， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的右极限存在且等于导数，即右极限大于零。这样一来，取任意正向接近 $x_{0}$ 的数列 ${a_{n}}$ ，则对于任意正整数 $N$ ，必然总有编号大于 $N$ 的 $a_{n}$ 使得 $f (a_{n}) > f (x_{0})$ ²。又由于 $lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ，故得，对于任意包含 $x_{0}$ 的开集（范围） $O$ （对应编号 $N$ ），总有 $f (a_{n}) > f (x_{0})$ ，于是 $f (x_{0})$ 就不是极大值了。

　　结论和假设矛盾，故反设部分不成立。将以上讨论推广到 $f (x_{0})$ 取极小值和/或反设 $f^{'} (x_{0}) < 0$ 的情况后，可得最终结论： $f^{'} (x_{0})$ 必为零。

　　证毕。

　　定理 1 就可以用来快速计算出例 1 里的两个极值点的位置，即导数为零的地方。

2. 三个中值定理

定义 2　Rolle 中值定理

　　设 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f (a) = f (b)$ ，那么存在一个 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = 0$ 。

　　罗尔微分中值定理可以利用费马定理定理 1 证明，即对最大值或最小值点处的导数进行分析。

　　如果将函数 $f (x)$ 叠加上一个一次函数 $k x + b$ ，即满足 $f (b) - f (a) = k (b - a)$ ，那么就一定存在 $a < ξ < b$ 使得 $f^{'} (ξ) = k$ 。于是可以得到以下定理

定理 2　拉格朗日微分中值定理

　　若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，则一定存在 $a < ξ < b$ ，使得

\begin{matrix} (1) & f^{'} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} . \end{matrix}

习题 1　

　　证明勒让德（Legendre）多项式³

\begin{matrix} (2) & P_{n} (x) = \frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} [(x^{2} - 1)^{n}] . \end{matrix}

　　在 $(- 1, 1)$ 内有 $n$ 个互异的实根。

　　 提示：考察多项式函数 $f (x) = (x^{2} - 1)^{n}$ ，它在 $x = \pm 1$ 处分别有 $n$ 重根。如果对它求一次导，由罗尔微分中值定理， $f^{'} (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 内至少有一个根，在 $x = \pm 1$ 处分别有 $n - 1$ 重根。根据多项式函数因式分解的性质， $f^{'} (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 上只有一个根。再对它求导，……。以此类推， $f^{(n)} (x)$ 在 $(- 1, 1)$ 内恰好有 $n$ 个互异的根，在 $x = \pm 1$ 不再是 $f^{(n)} (x)$ 的根。

　　由上例可见，罗尔微分中值定理可以用来分析特殊函数的零点情况。有时我们还会通过构造辅助函数来分析零点。例如若连续函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，那么对任意 $a \in R$ ，一定存在 $x_{1} < ξ < x_{2}$ 满足 $f^{'} (ξ) - a f (ξ) = 0$ 。这可以通过构造函数 $g (x) = f (x) e^{- a x}$ 再利用罗尔微分中值定理即可。

习题 2　

　　 $α$ 是大于 $0$ 的一个常数。函数 $f (x) = x^{α}$ 在 $[0, \infty)$ 上是否一致连续（对 $α$ 分类讨论）？

　　 提示：回顾一致连续的定义，对任意 $ϵ > 0$ ，总存在 $δ > 0$ ，使得任取 $| x - y | < δ (0 \leq x < y)$ ，都有 $| f (x) - f (y) | < ϵ$ 。可以利用微分中值定理，总是存在 $x < ξ < y$ ，使得 $| f (x) - f (y) | = f^{'} (ξ) | x - y | < δ f^{'} (ξ)$ （ $f (x)$ 是单调递增函数）。这样一来我们就将一致连续性与导数联系了起来。要注意的是，当 $α < 1$ 时 $f (x)$ 在 $0$ 附近导数趋于无穷大，所以要对 $0$ 附近的邻域单独拎出来讨论（例如取区间 $[0, 2]$ ，闭区间上的连续函数一定一致连续）。当 $α \leq 1$ 时，邻域以外的部分 $f^{'} (ξ)$ 将有上界，因此函数 $f (x)$ 一致连续。当 $α > 1$ 时， $f^{'} (x)$ 随 $x$ 的增加而单调增加，趋于正无穷，于是有 $| f (x + δ) - f (x) | = δ f^{'} (ξ) \geq δ f^{'} (x)$ ，因此 $f (x)$ 不一直连续。

定理 3　柯西微分中值定理

　　若函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，而且 $g^{'} (x) \neq 0$ ，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得

\begin{matrix} (3) & \frac{f^{'} (ξ)}{g^{'} (ξ)} = \frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} . \end{matrix}

习题 3　

　　函数 $f (x)$ 在 $(0, \infty)$ 上连续，证明对任意 $0 < a < b$ ，总是存在 $a < ξ < b, a < ψ < b$ ，使得

\begin{matrix} (4) & \frac{2 f^{'} (ξ)}{ξ^{2}} (a^{2} + a b + b^{2}) = \frac{3 f^{'} (ψ)}{ψ} (a + b) . \end{matrix}

提示：上式经过变形可以写成

\begin{matrix} (5) & \frac{f^{'} (ξ)}{3 ξ^{2}} (a^{3} - b^{3}) = \frac{f^{'} (ψ)}{2 ψ} (a^{2} - b^{2}) . \end{matrix}

这提示我们利用柯西微分中值定理，总是存在

a < ξ, ψ < b

，使得

\begin{matrix} (6) & \begin{array}{r} \frac{f (a) - f (b)}{a^{3} - b^{3}} = \frac{f^{'} (ξ)}{3 ξ^{2}}, \\ \frac{f (a) - f (b)}{a^{2} - b^{2}} = \frac{f^{'} (ψ)}{2 ψ} . \end{array} \end{matrix}

1. ^ 取极小值和/或反设 $f^{'} (x_{0}) < 0$ 的情况可以类比，在此不赘述。反设就是指 “反过来假设定理不成立”。
2. ^ 否则，如果存在一个正整数 $N$ 使得所有编号大于 $N$ 的 $a_{n}$ 都小于等于 $f (x_{0})$ ，则这些 $a_{n}$ 计算出的割线斜率 $\frac{f (a_{n}) - f (x_{0})}{a_{n} - x_{0}}$ 就小于等于零了，取极限以后，可得 $f^{'} (x_{0}) \leq 0$ ，而这和我们反设的 “ $f^{'} (x_{0}) < 0$ ” 相矛盾。
3. ^ 这个著名的函数出现在球谐函数中，在学电动力学和量子力学时将会多次用到。

微分中值定理

1. 一点准备

定义 1 函数极值

例 1

定理 1 Fermat 定理

2. 三个中值定理

定义 2 Rolle 中值定理

定理 2 拉格朗日微分中值定理

习题 1

习题 2

定理 3 柯西微分中值定理

习题 3

定义 1　函数极值

例 1　

定理 1　Fermat 定理

定义 2　Rolle 中值定理

定理 2　拉格朗日微分中值定理

习题 1　

习题 2　

定理 3　柯西微分中值定理

习题 3　