贡献者： 零穹
在单位制和量纲这一节中我们提到了量纲式，并且给出了定义 1 ，本节将证明量纲式的通用表达式，并给出另外一种较为更 “数学” 的定义。本节的定理将给出一个极其重要的结论，它使得我们对物理规律有一个更深刻的认识。
1. 定义方程
在单位制和量纲这一节中，例 1 和例 2 提到了定义方程和终极定义方程，我们先给出它们的定义。
定义 1
在单位制 $\mathscr{Z}$ 中，定义导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的物理规律对应的方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程。
定义 2
在某一单位制 $\mathscr{Z}$ 中，若将导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的定义方程 中涉及的量类（该导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 除外）都用基本量类来表示，得到的定义方程称为该单位制 $\mathscr{Z}$ 中 $\hat{\boldsymbol{C}}_{\mathscr{Z}}$ 的终极定义方程，简称 终定方程.
定理 1
任一单位制 $\mathscr{Z}$ 的任一导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}_{ \mathscr{Z}}$ 的终定方程都是幂单项式，即
\begin{equation}
C=k_{\text{终}}J_1^{\sigma_1}\cdots J_l^{\sigma_l}~.
\end{equation}
证明：记单位制为 $\mathscr{Z}$，为便于陈述，设 $\mathscr{Z}$ 制有 3 个基本量类——$\tilde{\boldsymbol{l}}$、$\tilde{\boldsymbol{m}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{t}}$。选定基本单位 $\hat{\boldsymbol{l}}$、$\hat{\boldsymbol{m}}$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}$。任一导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的导出单位 $\hat{\boldsymbol{C}}$ 的终定方程为
\begin{equation}
C=f(l,m,t)~.
\end{equation}
设 $\mathscr{Z}$ 是 $\mathscr{Z}$ 的同族制，其基本单位是 $\hat{\boldsymbol{l}}'$、$\hat{\boldsymbol{m}}'$ 和 $\hat{\boldsymbol{t}}'$，导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的单位是 $\hat{\boldsymbol{C}}'$，又有
\begin{equation}
C'=f(l',m',t')~,
\end{equation}
$f$ 不加撇是因为同族制有相同的定义方程。令
\begin{equation}
x\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{l}},\quad y\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{m}},\quad z\equiv \left. \mathrm{dim} \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'}}\tilde{\boldsymbol{t}}~.
\end{equation}
则由
式 16 ，得
\begin{equation}
x=\frac{\hat{\boldsymbol{l}}}{\hat{\boldsymbol{l}}'}=\frac{l'}{l},\quad y=\frac{\hat{\boldsymbol{m}}}{\hat{\boldsymbol{m}}'}=\frac{m'}{m},\quad z=\frac{\hat{\boldsymbol{t}}}{\hat{\boldsymbol{t}}'}=\frac{t'}{t}~.\quad
\end{equation}
故 $l'=xl,m'=ym,t'=zt$，代入
式 3 得
\begin{equation}
C'=f(xl,ym,zt)~.
\end{equation}
由量纲的定义又知
\begin{equation}
\mathrm{ \left. dim \right\rvert _{\mathscr{Z,Z'
}}}\tilde{\boldsymbol{C}}=\frac{f(xl,ym,zt)}{f(l,m,t)}~.
\end{equation}
上式右边可写成 $x,y,z$ 的函数 $g(x,y,z)$（因为 $\mathcal{Z}$ 制固定而 $\mathscr{Z'}$ 任意，导致变数仅是 $x,y,z$），则
\begin{equation}
f(xl,ym,zt)=g(x,y,z)f(l,m,t)~.
\end{equation}
上式两边对 $x$ 求导，得
\begin{equation}
lf_1(xl,ym,zt)=g_1(x,y,z)f(l,m,t)~.
\end{equation}
下标 1 代表对第一个自变数求偏导。取 $x=y=z=1$，得
\begin{equation}
lf_1(xl,ym,zt)=g_1(1,1,1)f(l,m,t)~.
\end{equation}
令 $\lambda=g_1(1,1,1)$，则上式可写为
\begin{equation}
l \frac{\partial f}{\partial l} =\lambda f~.
\end{equation}
积分便得
\begin{equation}
f(l,m,t)=\phi(m,t)l^{\lambda}~.
\end{equation}
其中，$\phi(m,t)$ 是 $m,t$ 的某个函数。
上式带入式 8 ，便消去了 $l$ 并给出
\begin{equation}
\phi(ym,zt)=g(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda}~.
\end{equation}
将上式对 $y$ 求偏导，得
\begin{equation}
m\phi_1(ym,zt)=g_2(x,y,z)\phi(m,t)x^{-\lambda}~.
\end{equation}
其中，$g_2(x,y,z)$ 的下标 2 代表对第二个自变数求导。取 $x=y=z=1$，又得
\begin{equation}
m\phi_1(m,t)=g_2(1,1,1)\phi(m,t)~.
\end{equation}
令 $\mu=g_2(1,1,1)$，则上式可简记为
\begin{equation}
m \frac{\partial \phi}{\partial m} =\phi f~.
\end{equation}
积分得
\begin{equation}
\phi(m,t)=\phi(t)m^{\mu}~,
\end{equation}
其中 $\phi(t)$ 是 $t$ 的某个函数。类似的还可求得函数
\begin{equation}
\phi(t)=kt^{\tau}~.
\end{equation}
其中，$\tau=g_3(1,1,1)$，$k$ 是积分常数。
联立
式 12 、
式 17 、
式 18 ，最终得
\begin{equation}
f(l,m,t)=kl^{\lambda}m^{\mu}t^{\tau}~.
\end{equation}
可见，$f(l,m,t)$ 的确是幂单项式。该方法可推广至任一单位制，有兴趣读者不妨试试。
定理得证。
定理 2
任一物理量类的量纲式都存在，而且都是幂单项式。特别的，对于导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$，若其导出单位的终定方程形为式 1 ，则其量纲式为
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l}~,
\end{equation}
其中，$\sigma_1,\cdots,\sigma_l$ 称为 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的
量纲指数。
证明：设 $\mathscr{Z}$ 为任一单位制，对基本物理量类，定理 2 显然成立。对导出物理量类，定理 1 告诉我们其有终定方程式 1 。设 $\mathscr{Z'}$ 为与 $\mathscr{Z}$ 同族的另一单位制，以 $C'$ 和 $J_1',\cdots,J_l'$ 代表各有关量在 $\mathscr{Z'}$ 制的数，则
\begin{equation}
C'=k_{\text{终}}J_1'^{\sigma_1}\cdots J_l'^{\sigma_l}~.
\end{equation}
式中，$k_{\text{终}}$ 不变是由同族单位制
定义 2 中的条件 2 决定的。
式 1 和
式 21 两式相除便有
\begin{equation}
\frac{C'}{C}= \left(\frac{J_1'}{J_1} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{J_l'}{J_l} \right) ^{\sigma_l}~.
\end{equation}
由
式 9
\begin{equation}
\frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}=\frac{C'}{C}, \quad\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_i}{\hat{\boldsymbol{J}}_i'}=\frac{J_i'}{J_i}\quad (i=1,\cdots ,l)~.
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\frac{\hat{\boldsymbol{C}}}{\hat{\boldsymbol{C}}'}= \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_1}{\hat{\boldsymbol{J}}_1'} \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\frac{\hat{\boldsymbol{J}}_l}{\hat{\boldsymbol{J}}_l'} \right) ^{\sigma_l}~.
\end{equation}
由
式 16 ，即得
式 20 。定理得证。
定理 2 表明导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲是基本量类的量纲的 $l$ 元函数（为基本量类的个数），函数关系由导出量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 的量纲式式 20 给出
定义 3
式 20 称为量类 $\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在单位制族 $\tilde{\mathscr{Z}}$ 中的量纲式。$\mathscr{Z}$ 为定理 2 证明中所选的单位制。
定义 4
量纲指数全部为 0 的量称为无量纲量或量纲恒为 1 的量。
定理 3
反映物理规律的数值表达式在同族单位制有相同形式。即若在单位制 $\mathscr{Z}$ 中，涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为
\begin{equation}
A=kA_1\cdots A_n~.
\end{equation}
则在与 $\mathscr{Z}$ 同族的单位制 $\mathscr{Z'}$ 中，涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{A_1},\cdots,\boldsymbol{A_n}$ 对应的数值表达式为
\begin{equation}
A'=kA_1'\cdots A_n'~.
\end{equation}
其中，$A,A_1,\cdots,A_n$ 和 $A',A_1',\cdots ,A_n'$ 分别是在 $\mathscr{Z}$ 和 $\mathscr{Z'}$ 中用基本单位测得的数，$k$ 为常数。
证明：假设定理不成立，则在 $\mathscr{Z'}$ 中，将有
\begin{equation}
A'=k'A_1'\cdots A_n'~,
\end{equation}
其中，常数 $k'\neq k$.
由定理 1 ，可将 $A_1,\cdots,A_n$ 用基本量类对应的数 $J_1,\cdots,J_l$ 表示之，只需把 $A_1,\cdots,A_n$ 各自的终定方程（配以所依托的现象类）带入式 25 ，由同族单位制定义，$A_i$ 和 $A_i'$ 终定方程对应的系数相同，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
&A=k_{\text{终}} \left(J_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(J_l \right) ^{\sigma_l}~,\\
&A'=k'_{\text{终}}(J'_1)^{\sigma_1}\cdots (J'_l)^{\sigma_1}~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中，$k_{\text{终}}\neq k'_{\text{终}}$。
式 28 中两式相除，并由量纲的定义，有
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\frac{k_{\text{终}}}{k'_{\text{终}}} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_1 \right) ^{\sigma_1}\cdots \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{J}}_l \right) ^{\sigma_l}~.
\end{equation}
这与
定理 2 相悖，故没有这样的 $k'\neq k$ 存在。定理得证。
推论 1
设物理现象涉及量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}$，它们在单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数值表达式为
\begin{equation}
C=kA^{\alpha}B^{\beta}~.
\end{equation}
则量类 $\tilde{\boldsymbol{A}},\tilde{\boldsymbol{B}},\tilde{\boldsymbol{C}}$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲满足关系式
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}= \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}} \right) ^{\alpha} \left(\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}} \right) ^{\beta}~.
\end{equation}
定理 4 量纲齐次性定理
设物理现象涉及物理量 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$，它们在某单位制 $\mathscr{Z}$ 中的数 $A,B,C,\cdots$ 的数值表达式为
\begin{equation}
C=A+B+\cdots~
\end{equation}
则相应的量类 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C}\cdots$ 在 $\mathscr{Z}$ 制所在族的量纲相等。即
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{B}}=\cdots~
\end{equation}
证明：由量纲定义式 16 可知，量纲仅取决于新旧单位制的选择，而与物理现象中各量大小无关，故可取式 32 中除 $A$ 外的各项数值为 0，即只需讨论
\begin{equation}
C=A~.
\end{equation}
的情况，此式可看着
式 30 中 $k=\alpha=1,\beta=0$ 的情形，故由
推论 1
\begin{equation}
\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{C}}=\mathrm{dim}\tilde{\boldsymbol{A}}~.
\end{equation}
同理可证
式 33 成立。定理得证。
注意，这里的证明里物理量数值可设为 0，是在前面已经建立量类是 1 维矢量空间的基础上的，我们的证明便是在量类构成的 1 维矢量空间中讨论的，故物理量数值设定为 0 合理。