贡献者： 零穹
在物理中，不少量类（这里指用单位测量量类中的量所得的数值）在通常情况下或不能取负值，或不连续，或只在某一范围取值。比如质量、面积、体积、密度、电容等不会取负值；电荷取值具有量子化性质；引力常量 $\boldsymbol{G}$ 只有一个等等。为建立一套完整的量纲理论，我们需要对量类进行延拓。在此之前，我们先给出一些理由，以便理解。
1. 量类延拓的理由
某些量类对于一些数值是 “没有物理意义” 的，比如质量非负，然而，“没有物理意义” 的说法其实是非常含混的。比如对速率量类，在相对论里其数值不能超过光速，但若限于牛顿力学，任何速率都是允许的。再如温度，我们知道绝对零度不可达到，但总应将绝对零度视作温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$ 的元素，否则 “绝对零度不可达到” 将意义不明。绝对零度下的温度虽然 “没有物理意义”，但不妨纳入温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$ 这个集合中，只需将其理解成在具体的问题中不出现而已。现在，“温度量类 $\tilde{\boldsymbol{T}}$” 指由开尔文（作为单位）的任意实数倍组成的集合。同样，对于量子化的量类，只需将其取值的性质改为可以连续，那些 “没有物理意义” 的值只需理解为在具体问题中不会出现或观察不到。更如，对于引力常量量类 $\tilde{\boldsymbol{G}}$，人们过去一直认为其是常量，但现在，越来越多的人相信，在宇宙演化的历史长河中，引力常量 $\boldsymbol{G}$ 是在非常缓慢地改变着的（由狄拉克于 1937 年率先提出）。这一 “常量不常” 的现象对其它若干物理常量也适用。
当然，对量类进行延拓的最直接理由是建立其对应的数学结构，以便进行各种运算。
2. 量类的最大延拓
定义 1
量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的最大延拓是指：以 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的任一单位测量延拓后的量类的所有元素，所得实数取遍整个实数集 $\mathbb{R}$.
今后不加说明，“量类” 一词（及其符号 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$）都指最大延拓的集合，它包含反映正、负状态的两个子集。
定义 2
设 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 是最大延拓的量类，则
- $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的子集，以任一单位测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(0,\infty)$；
- $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 是 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的子集，以任一单位测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 的所有元素的得数能取遍开区间 $(-\infty,0)$
称 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{负}}$ 分别为量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的正半轴 和 负半轴。
3. 量类是 1 维矢量空间
现在，我们可给出量类的加法、数乘和零元的定义。
加法
图 1：米尺测量木块的长
如图，用米尺测量两个同样的长方体木块（左图），其长为 $1\boldsymbol{m}$，后将两个木块拼接在一起（右图），其长为 $2\boldsymbol{m}$。对同样的情况，若两木块长分别为 $\alpha ,\beta$（以 $\boldsymbol{m}$ 为单位）,则拼接在一起的木块长为 $\alpha+\beta$。这提示我们可对同类量的加法进行如下定义
定义 3
设 $\boldsymbol{Q_1},\boldsymbol{Q_2}\in \tilde{\boldsymbol{Q}}$，任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}_{\text{正}}$，有 $\boldsymbol{Q_1}=Q_1\hat{\boldsymbol{Q}}, \boldsymbol{Q_2}=Q_2\hat{\boldsymbol{Q}}$，则 $\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$，其定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}:=(Q_1+Q_2)\hat{\boldsymbol{Q}}~.
\end{equation}
例 1
试证明：$\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}$ 与所选单位无关。即对于任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}},\hat{\boldsymbol{Q'}}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$，所得结果分别记为 $\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2}$ 和 $\boldsymbol{Q_1}'+\boldsymbol{Q_2}'$，则
\begin{equation}
\boldsymbol{Q_1}+\boldsymbol{Q_2} =\boldsymbol{Q_1}'+\boldsymbol{Q_2}'~.
\end{equation}
该结论由
定理 2 直接得到。
数乘
定理 1 使得我们能够在量类当中定义数乘。
定义 4
设 $\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$，任选单位 $\hat{\boldsymbol{Q}}$ 便有 $\boldsymbol{Q}=Q\hat{\boldsymbol{Q}}$。任一实数 $\alpha$ 与 $\boldsymbol{Q}$ 的数乘 $\alpha\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 定义为
\begin{equation}
\alpha\boldsymbol{Q}:=(\alpha Q)\hat{\boldsymbol{Q}}~.
\end{equation}
零元
定义 5
$\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的元素称为零元，记作 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $，若存在 $\boldsymbol{Q_0}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 使得用 $\boldsymbol{Q_0}$ 测该元素得数为 0.
容易证明，用任一非零元素 $\boldsymbol{Q}\in\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 测 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的零元得数都是 0.
例 2
试证明：每个量类 $\tilde{\boldsymbol{Q}}$ 的零元是唯一的。
证明：设存在两个零元 $ \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{0'}} $，则存在 $\boldsymbol{Q_0},\boldsymbol{Q_0'}$ 使得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{0}} =0\boldsymbol{Q_0}~,\quad \boldsymbol{\mathbf{0'}} =0\boldsymbol{Q_0'}~.
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{0'}} =0\boldsymbol{Q_0'}=0\frac{\boldsymbol{Q_0'}}{\boldsymbol{Q_0}}\boldsymbol{Q_0}=0\boldsymbol{Q_0}=\boldsymbol{0}~.
\end{equation}
可以验证，这样定义的加法、数乘、零元满足矢量空间的定义。所以每个量类都是（实数域上的）一个矢量空间。又因为它只有一个线性独立的元素（不妨就选取作为单位的量），即只有一个基矢，所以是 1 维矢量空间。
