齐次凸泛函
贡献者: 零穹
齐次凸泛函是与凸集紧密联系的概念,共有的 “凸” 也表达了这一印象。以后我们将看到,非负齐次凸泛函与其核含 0 点的凸体是一一对应的。当然,凸泛函可以看作是凸函数在一般线性空间中的推广。
定义 1 凸泛函
设 是实线性空间。 上的泛函 称为凸的,是指对任意 ,成立
定义 2 正齐次
上的泛函 称为正齐次的,是指对所有的 ,
注意,齐次凸泛函就是指有凸性和正齐次性的泛函,而不仅仅是齐次。这里齐次只是正齐次的简称。
定义 3 齐次凸泛函
正齐次的凸泛函简称为齐次凸泛函。
证明:当:设 凸。则
仅当:设
式 3 成立。则
即 凸。
证毕!
1. 凸泛函的性质
定理 2 凸泛函的性质
设 是凸泛函,则成立
- ;
- ;
- 。
证明:由正齐次性,;紧接着,由定理 1 ,。1,2 点得证。
第 3 点证明如下: 由正齐次性直接得到;当 时可由 推得;当当 ,则由已证得的 2,得
即 。
证明!
2. 例子
例 1
设 是有界序列 组成的空间。泛函
是齐次凸的。