齐次凸泛函
贡献者： 零穹
齐次凸泛函是与凸集紧密联系的概念，共有的 “凸” 也表达了这一印象。以后我们将看到，非负齐次凸泛函与其核含 0 点的凸体是一一对应的。当然，凸泛函可以看作是凸函数在一般线性空间中的推广。
定义 1 凸泛函
设 $L$ 是实线性空间。$L$ 上的泛函 $p$ 称为凸的，是指对任意 $x,y\in L,0\leq\alpha\leq1$，成立
\begin{equation}
p(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq \alpha p(x)+(1-\alpha)p(y).~
\end{equation}
定义 2 正齐次
$L$ 上的泛函 $p$ 称为正齐次的，是指对所有的 $x\in L,\alpha >0$，
\begin{equation}
p(\alpha x)=\alpha p(x).~
\end{equation}
注意，齐次凸泛函就是指有凸性和正齐次性的泛函，而不仅仅是齐次。这里齐次只是正齐次的简称。
定义 3 齐次凸泛函
正齐次的凸泛函简称为齐次凸泛函。
定理 1
设 $p$ 是正齐次泛函，则 $p$ 凸当且仅当
\begin{equation}
p(x+y)\leq p(x)+p(y).~
\end{equation}
证明：当：设 $p$ 凸。则
\begin{equation}
p(x+y)=2p \left(\frac{x+y}{2} \right) \leq 2 \left(p \left(\frac{x}{2} \right) +p \left(\frac{y}{2} \right) \right) =p(x)+p(y).~
\end{equation}
设
式 3 成立。则
\begin{equation}
p(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq p(\alpha x)+p((1-\alpha)y)\leq \alpha p(x)+(1-\alpha)p(y).~
\end{equation}
即 $p$ 凸。
证毕！
1. 凸泛函的性质
定理 2 凸泛函的性质
设 $p$ 是凸泛函，则成立
- $p(0)=0$；
- $0\leq p(x)+p(-x)$；
- $p(\alpha x)\geq\alpha p(x).\alpha\in\mathbb R$。
证明：由正齐次性，$\forall \alpha\in\mathbb R,p(\alpha 0)=\alpha p(0)\Rightarrow p(0)=0$；紧接着，由定理 1 ，$0=f(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)$。1，2 点得证。
第 3 点证明如下：$\alpha>0$ 由正齐次性直接得到；当 $\alpha=0$ 时可由 $p(0)=0$ 推得；当当 $\alpha<0$，则由已证得的 2，得
\begin{equation}
0\leq p(\alpha x)+p( \left\lvert \alpha \right\rvert x)=p(\alpha x)+ \left\lvert \alpha \right\rvert p(x).~
\end{equation}
即 $p(\alpha x)\geq - \left\lvert \alpha \right\rvert p(x)=\alpha p(x)$。
证明！
2. 例子
例 1
设 $m$ 是有界序列 $x=(x_1,\cdots,\cdots,\cdots)$ 组成的空间。泛函
\begin{equation}
p(x)=\sup_n \left\lvert x_n \right\rvert ~
\end{equation}
是齐次凸的。