齐次凸泛函

                     

贡献者: 零穹

预备知识 泛函与线性泛函

   齐次凸泛函是与凸集紧密联系的概念,共有的 “凸” 也表达了这一印象。以后我们将看到,非负齐次凸泛函与其含 0 点的凸体是一一对应的。当然,凸泛函可以看作是凸函数在一般线性空间中的推广。

定义 1 凸泛函

   设 L 是实线性空间。L 上的泛函 p 称为凸的,是指对任意 x,yL,0α1,成立

(1)p(αx+(1α)y)αp(x)+(1α)p(y). 

定义 2 正齐次

   L 上的泛函 p 称为正齐次的,是指对所有的 xL,α>0

(2)p(αx)=αp(x). 

   注意,齐次凸泛函就是指有凸性和正齐次性的泛函,而不仅仅是齐次。这里齐次只是正齐次的简称。

定义 3 齐次凸泛函

   正齐次的凸泛函简称为齐次凸泛函

定理 1 

   设 p 是正齐次泛函,则 p 凸当且仅当

(3)p(x+y)p(x)+p(y). 

   证明:当:p 凸。则

(4)p(x+y)=2p(x+y2)2(p(x2)+p(y2))=p(x)+p(y). 
仅当:式 3 成立。则
(5)p(αx+(1α)y)p(αx)+p((1α)y)αp(x)+(1α)p(y). 
p 凸。

   证毕!

1. 凸泛函的性质

定理 2 凸泛函的性质

   设 p 是凸泛函,则成立

  1. p(0)=0
  2. 0p(x)+p(x)
  3. p(αx)αp(x).αR

   证明:由正齐次性,αR,p(α0)=αp(0)p(0)=0;紧接着,由定理 1 0=f(x+(x))p(x)+p(x)。1,2 点得证。

   第 3 点证明如下:α>0 由正齐次性直接得到;当 α=0 时可由 p(0)=0 推得;当当 α<0,则由已证得的 2,得

(6)0p(αx)+p(|α|x)=p(αx)+|α|p(x). 
p(αx)|α|p(x)=αp(x)

   证明!

2. 例子

例 1 

   设 m 是有界序列 x=(x1,,,) 组成的空间。泛函

(7)p(x)=supn|xn| 
是齐次凸的。

                     

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