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设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，若对于任意的 $x_1,x_2\in I$，$t\in (0,1)$，都有
\begin{equation}
f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2)~,
\end{equation}
那么称 $f(x)$ 为 $I$ 上的
凸函数。如果将 $\le$ 改为 $<$，那么称 $f(x)$ 为
严格凸函数。类似地可以定义
凹函数和
严格凹函数。
定理 1
设 $f(x)\in C[a,b]$。$f(x)$ 满足
- 在 $(a,b)$ 上可导。则 $f(x)$ 是（严格）凸函数的充分必要条件是 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内（严格）单调递增。
- 在 $(a,b)$ 上二阶可导。则 $f(x)$ 是凸函数的充分必要条件是 $f''(x)\ge 0$；$f(x)$ 是严格凸函数的充分必要条件是 $f''(x)\ge 0$ 且 $f''(x)$ 在 $(a,b)$ 的任意子区间上都不恒等于 $0$。
凸函数的以上几条充分必要条件可以从图像中直观地理解，事实上，画图常常有助于解决与凸函数性质相关的问题。
习题 1
证明两个 $I$ 上的凸函数相加仍然是 $I$ 上的凸函数。
提示：由于给定函数在区间 $I$ 上不一定可导，所以不能用
定理 1 证明，必须回归到定义。
习题 2
设 $f(x)$ 是区间 $(a,b)$ 上的凸函数，证明 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的任意闭区间 $[\alpha,\beta]$ 上都满足 Lipschitz 条件（也就是说存在 $L>0$，对任意 $x_1,x_2\in [\alpha,\beta]$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\le L|x_1-x_2|$）。
提示：如果将 $[\alpha,\beta]$ 改为开区间，则很容易找到反例，所以在证明这个命题时要充分利用好闭区间的特性，尝试将 $L$ 的上界量化。取充分小的 $h$，使 $[\alpha-h,\beta+h]\subset (a,b)$，令 $x_3=x_2+h$，根据凸函数的定义（事实上可以从图像上很快得出）$(f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1)<(f(x_3)-f(x_2))/(x_3-x_2)\le (M-m)/h$，其中 $M,m$ 是区间 $[\alpha-h,\beta+h]$ 上函数的最大、最小值（可以证明，闭区间上的凸函数一定有最大最小值）。于是可以令 $L=(M-m)/h$。
函数的凹凸性可以通过琴生不等式引出各种不等式，函数的凹凸性的定义是琴生不等式的 $n=2$ 版本，而事实上两者作为定义是等价的。
定理 2 琴生不等式
$f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是凸函数的充分必要条件为：对任意 $x_1,\cdots,x_n\in [a,b],\sum_{i=1}^n t_i=1$，以下不等式总成立
\begin{equation}
f(t_1x_1+t_2x_2+\cdots+t_nx_n)\le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots+t_nf(x_n)~.
\end{equation}
对于严格凸函数，上面的充要条件应将 $\le$ 改为 $<$，并且 $x_1,\cdots,x_n$ 不全相等。
利用凸函数的性质，可以推出一系列不等式，例如调和-几何-算术平均不等式、柯西不等式、赫尔德不等式等。
习题 3
证明幂平均不等式：设 $x_1,\cdots,x_n>0$，构造以下函数：
\begin{equation}
F(p)=\left\{
\begin{aligned}
&\left(\frac{x_1^p+x_2^p+\cdots+x_n^p}{n}\right)^{1/p} && (p\neq 0)\\
&(x_1\cdots x_n)^{1/n} && (p=0)~.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
那么 $F(p)$ 是单调递增函数。
提示：幂平均不等式是调和-几何-算术平均不等式的自然推广，注意到 $F(-\infty)< F(-1)< F(0)< F(1)< F(\infty)$ 恰好对应着
\begin{equation}
\begin{aligned}
\min\{x_1,\cdots,x_n\}&<\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}}<(x_1\cdots x_n)^{1/n}\\
&<\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}<\max\{x_1,\cdots,x_n\}~.
\end{aligned}
\end{equation}
先考虑证明 $0< p< q$ 时 $F(p)< F(q)$，其他情况的证明类似。为了能利用上琴生不等式，不等式一侧 $x_i$ 的指数最好为 $1$。所以进行换元，令 $a_i=x_i^p$，可以得到
\begin{equation}
\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^{q/p}\le \frac{a_1^{q/p}+\cdots+a_n^{q/p}}{n}~.
\end{equation}
函数 $x^{q/p}$ 在 $(0,\infty)$ 上是凸函数，因此可以利用琴生不等式证明这个不等式。