凸集的可分离性

贡献者：零穹

预备知识　凸集和凸体，泛函与线性泛函

　　线性空间中集 $M, N$ 的分离性是指存在一个线性泛函 $f$ ，使得泛函在这两个集上的值由一个常数区分开。凸集的分离性是指线性空间中两个凸集，若其中之一的核非空且不与另一集相交，则必存在非零线性泛函将这两个凸集分离。

　　设 $M, N$ 是实线性空间的两个子集， $f : L \to R$ 是线性泛函，若存在常数 $C$ 使得任意

\begin{matrix} (1) & f (x) {\begin{array}{r} \leq C, x \in N \\ \geq C, x \in M \end{array} \end{matrix}

则称

f

分离集

M, N

。即指

\begin{matrix} (2) & inf_{x \in M} f (x) \geq sup_{x \in N} f (x) . \end{matrix}

当不等式中的等号不成立时，称为严格分离。

1. 性质

　　设 $f$ 是线性空间 $L$ 上的线性泛函， $M, N \subset L$ ，则以下 3 个命题等价：

　　 证明： 这由下式直接看出：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} f (M) \geq C & \geq f (N) \\ ⇕ \\ f (M - N) & \geq 0 \\ ⇕ \\ f (M - x - (N - x)) & = f (M - x) - f (N - x) \geq 0 \\ ⇕ \\ f (M - x) & \geq f (N - x) . \end{aligned} \end{matrix}

　　 证毕！

　　设 $M, N$ 是实线性空间 $L$ 中的凸集，且核 $J (M) \neq \emptyset, J (M) \cap N = \emptyset$ ，则存在分离 $M, N$ 的非 0 线性泛函。

　　证明略。