凸集的可分离性
贡献者： 零穹
线性空间中集 $M,N$ 的分离性是指存在一个线性泛函 $f$，使得泛函在这两个集上的值由一个常数区分开。凸集的分离性是指线性空间中两个凸集，若其中之一的核非空且不与另一集相交，则必存在非零线性泛函将这两个凸集分离。
定义 1 分离性
设 $M,N$ 是实线性空间的两个子集，$f:L\rightarrow\mathbb R$ 是线性泛函，若存在常数 $C$ 使得任意
\begin{equation}
f(x)\left\{\begin{aligned}\leq C,\quad x\in N\\
\geq C,\quad x\in M
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
则称 $f$
分离集 $M,N$。
即指
\begin{equation}
\inf_{x\in M}f(x)\geq\sup_{x\in N}f(x).~
\end{equation}
当不等式中的等号不成立时，称为
严格分离。
1. 性质
定理 1
设 $f$ 是线性空间 $L$ 上的线性泛函，$M,N\subset L$，则以下 3 个命题等价：
- $f$ 分离 $M,N$；
- $f$ 分离 $M-N$ 与 $\{0\}$；
- 任意 $x\in L$，$f$ 分离 $M-x$ 和 $N-x$。
证明：
这由下式直接看出：
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(M)\geq C&\geq f(N)\\
&\Updownarrow \\
f(M-N)&\geq0\\
&\Updownarrow \\
f(M-x-(N-x))&=f(M-x)-f(N-x)\geq0\\
&\Updownarrow\\
f(M-x)&\geq f(N-x).
\end{aligned}~
\end{equation}
证毕！
定理 2
设 $M,N$ 是实线性空间 $L$ 中的凸集，且核 $J(M)\neq\emptyset,J(M)\cap N=\emptyset$，则存在分离 $M,N$ 的非 0 线性泛函。
证明略。