贡献者： 叶月2_
本节利用集合语言，介绍 Clifford 代数上的二元线性运算1。通过线性性可以将这些运算推广到 Clifford 代数的其他元素上。我们也会证明，更改线性空间的正交基并不会改变运算的形式。
外积与正交基
定义 1 外积
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
A \wedge B=\left\{\begin{aligned}
A B,\quad& A \cap B=\varnothing \\
0,\quad& A \cap B \neq \varnothing~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
并称之为外积（outer product or exterior product）或楔积（wedge product）。我们可以通过线性性将该运算拓展到任意元素之间的外积。
Clifford 积的结合性使得外积也具有结合性，读者可以自行验证。由运算的线性可知，外积还具有幂零性，即任意 $v\in V,v\wedge v=0$。
在上一节，我们说过，集合语言的阐述实际上是指定了线性空间的正交基。正交性体现为 CLifford 积的反对称性。因而对于正交基$\{\mathrm {e_i}\}$，我们有 $\mathrm{e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i}$。由外积的线性性可得，在给定正交基后，任意两个向量做外积，结果具有反对称性。也就是说，外积的反对称性是依赖于正交基的。
在幂零性和正交性的保证下，正交基的外积表现不随正交变换而改变。例如某线性空间下有两组正交基 $\{e_i\},\{\theta_i\}$，且 $\mathrm {\theta_1=a^i e_i,\theta_2=b^i e_i}$.那么我们由线性性和 $\{e_i\}$ 的正交关系得到：$\theta_i\wedge\theta_i=0$，而且有：
\begin{equation}
\left\{\begin{array}{l}
\theta_1 \theta_2=\left(a^i e_i\right) \wedge\left(b^j e_j\right)+\sum_k\left(a^k b^k s(e_k)\right) \\
\theta_2 \theta_1=\left(b^j e_j\right) \wedge\left(a^i e_i\right)+\sum_k\left(b^k a^k s(e_k)\right)
\end{array}\right.~,
\end{equation}
$a^i,b^i$ 是过渡矩阵里的两个列向量。
正交性要求 $\theta_1\theta_2=-\theta_2\theta_1$，对应 $\theta_i\wedge\theta_j=-\theta_j\wedge\theta_i$。从上式可以看到，基的正交性等价于
正交变换条件$\sum_k(a^k b^k s(e_k))=0$，这其实是
正交矩阵在任意线性空间的推广。在配备了正定二次型的欧几里得空间中，这意味着正交矩阵定义为列向量组中任意两个列向量内积为 $0$。
左内积
定义 2
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
A\left\llcorner B=\left\{\begin{aligned}
A B,\quad & A \subseteq B ; \\
0,\quad & A \nsubseteq B .
\end{aligned}\right.\right.~,
\end{equation}
并称之为左内积（left inner product or left interior product）。我们依然可以通过线性性将运算推广到 Clifford 代数的任意元素上。
右内积的定义是对偶的，即:
定义 3 右内积
\begin{equation}
A\lrcorner B=\left\{\begin{aligned}
A B,\quad & A \supseteq B ; \\
0,\quad & A \nsupseteq B .
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
下面我们只研究左内积。
与外积相同，左内积也具有 “正交基形式不变性”。
例如，在同一线性空间中选取两组正交基，$\{e_i\}$,$\{\theta _i\}$，且 $\mathrm {\theta_1=a^i e_i,\theta_2=b^i e_i},\theta_3=c^i e_i$。那么我们有：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\theta_1\left\llcorner\theta_2\right. & =\left(a^i e_i\right)\left\llcorner\left(b^j e_j\right)\right. \\
& =\sum_i s(i) a^i b^i=0
\end{aligned}~,
\end{equation}
习题 1
证明：$\theta_1\left\llcorner(\theta_2\theta_3)\right.$=0。提示：证明每一个分量为 0.
左内积可以给出几何代数上的分次结构：
习题 2
对于任意 k-向量 A 和 s-向量 B，证明
\begin{equation}
A\left\llcorner B=\langle A B\rangle_{s-k} .\right.~,
\end{equation}
标量积
标量积是一种特殊情况，即左右内积相等。
定义 4 标量积
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，
\begin{equation}
A * B=\left\{\begin{array}{cc}
A B, & A=B \\
0, & A \neq B .
\end{array}\right.~,
\end{equation}
读者可以自行证明标量积的正交基形式不变性。
在上一节，我们证明了 $e_Ae_B\propto e_{A\Delta B}$。实际上这里的系数是 A 与 B 交集部分的标量积（默认下标都是从小到大排列），我们用 $g_{AB}$ 表示，即标量积可视作利用 V 上二次型 q 诱导出几何代数上的二次型。
定理 1
已知几何代数 $\mathcal {G}(V, q)$ 上的二次型 $q$ 在某基下表示为矩阵 $g_{ij}$，$q $ 诱导的标量积则表示为 $g_{AB}$，其中 $A,B$ 是复杂指标。则
\begin{equation}
g_{A B}=e_A*e_B=\left\{\begin{aligned}
0,\quad & A \neq B \\
(-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}} \prod_{i \in A} g_{i i}, \quad& A=B
\end{aligned}\right.~,
\end{equation}
Proof. 按照标量积定义，$A \neq B$ 时，$g_{AB}$=0。$A = B$ 时，$\frac{|A|(|A|-1)}{2}$ 是 $e_B$ 进行对换，使得 $e_i$ 相邻所需要跨过的总次数。比如从 $e_1e_2e_3e_1e_2e_3$ 变换到 $e_1e_1e_2e_2e_3e_3$ 的总步数。根据正交性，每一次变换位置都需要乘以-1。得证。
对于任意 $v_1,v_2\in V$，线性运算使得 Clifford 积可以分解为依赖于二次型的标量积和与二次型无关的外积：$v_1v_2=v_1* v_2+v_1\wedge v_2$
投影，对合，反转以及共轭
定义 5 投影
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
\langle A\rangle_k=\left\{\begin{array}{cc}
A, & |A|=k \\
0, & |A| \neq k
\end{array}\right.~,
\end{equation}
并称之为在 k-次子空间上的投影。
定义 6 按次对合
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
A^{\star}=(-1)^{|A|}A~,
\end{equation}
并称之为按次对合（grade involution）、第一类对合（first main
involution）或者简称为 main involution。
定义 7 反转
给定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
A^{\dagger}=(-1)^{\frac{|A|(|A|-1)}{2}}A~,
\end{equation}
并称之为反转（reversion）、第二类对合（second main involution）或者主反自同构（principal anti-automorphism）。反转是下指标重排的过程：
$$(e_1e_2...e_n)^{\dagger}=e_ne_{n-1}...e_2e_1~,$$
定义 8 共轭
定 Clifford 代数 $\mathrm {Cl(X,R,s)}$，对于 $A,B\in 2^x$，定义
\begin{equation}
A^{\square}=A^{\star \dagger}~,
\end{equation}
并称之为 Clifford 共轭（Clifford conjugate）。
习题 3
已知 $\mathcal G(\mathbb R^{0,1})\cong \mathbb C,G(\mathbb R^{0,2})\cong \mathbb H$，证明：按次对合和 Clifford 共轭在 $\mathbb C$ 上就是复共轭，而 Clifford 共轭在 $\mathbb H$ 上是四元数共轭
常见结论
在实际运算的过程中，我们有时候会遇到多个元素通过多个运算结合在一起，下面给出一些结合相关的性质。
习题 4
对于 $x,y,z\in\mathrm {CL(X,R,s)}$，证明
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
x \wedge(y \wedge z) & =(x \wedge y) \wedge z ;\\
x\llcorner(y\lrcorner z) & =(x\llcorner y)\lrcorner z ;\\
x\llcorner(y\llcorner z) & =(x \wedge y)\llcorner z; \\
x *(y\llcorner z) & =(x \wedge y) * z ; \\
1 \wedge x & =x \wedge 1=1\llcorner x=x\lrcorner 1=x .
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
思路是先证明对基成立，才通过线性运算扩张。
此外，还有以下可以简化运算的结论。
习题 5
对于任意 $x,y\in\mathrm {CL(X,R,s)}$ 和 $v\in \mathrm{CL^1(X,R,s)}$，证明
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
v x&=v\llcorner x+v \wedge x ; \\
v \wedge x&=x^{\star} \wedge v=\frac{1}{2}\left(v x+x^{\star} v\right) ; \\
v\llcorner x&=-x^{\star}\lrcorner v=\frac{1}{2}\left(v x-x^{\star} v\right) ; \\
v\llcorner(x y)&=\left(v\llcorner x) y+x^{\star}(v\llcorner y) .\right.
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
几何代数上的对偶
定义 9
给定非退化几何代数\mathcal G(V,q)，对 $x\in\mathcal G(V,q)$ 定义 $x^c=xI^{-1}$，称为 $x$ 的对偶（dual）。
定义里可见，由于要求体积形式有逆元，元素的对偶存在性依赖于非退化的几何代数。如果满足非退化条件，元素的外积也有其对应的对偶空间的外积。
定义 10
定义对偶外积（dual outer product），用符号 $\vee$ 表示，使得
\begin{equation}
x\vee y=(x^c\wedge y^c)^c~.
\end{equation}
对偶定义使得左内积和外积也存在对偶关系。
定理 2
给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$，任取其元素 $x,y$，则有
\begin{equation}
x\llcorner y=(x\wedge y^c)^c~.
\end{equation}
proof.
只需要证明 $x\llcorner y^c=(x\wedge y)^c$。
$x\llcorner y^c=x\llcorner (yI^{-1})=x\llcorner (y\llcorner I^{-1})=(x\wedge y)\llcorner I^{-1}=(x\wedge y)^c$
1. ^ 本文参考 Jie Peter《代数学讲义》