贡献者： 叶月2_
注：本文参考 Jier Peter 的《代数学基础》。
在上一节，我们介绍了单向量的基本运算。本节着重讨论外积、对偶以及左内积运算在单向量集合上的性质，即这些运算在单向量集合上是否封闭，以及运算结果与子空间的关系。需要注意的是，左内积以及对偶运算往往需要我们取一组正交基，因为用集合语言讨论非常方便，所以对于退化二次型，我们需要仔细检验某些结论是否成立。
互反基
由于几何代数定义在线性空间上，所以我们也可以定义 “对偶基” 的概念。稍后我们可以发现，对单向量取对偶后其子空间和 “对偶基” 的关系。
定义 1
给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$，$\{e_1,e_2...e_k\}$ 是 $V$ 上的一组基，则可以定义该基的互反基(reciprocal basis)$\{e^1,e^2...e^k\}$，使得
\begin{equation}
e^i*e_j=\delta^i_j~.
\end{equation}
reciprocal 也可翻译为 “互逆”、“对偶” 和 “倒易” 等。
与对偶空间的概念相似，无论是定义中的基向量组还是互反基，都不要求正交性。
不过非退化的几何代数里总存在标准正交基。在取了标准正交基后，其互反基实际上就是这组基本身：$e^i=e_i$。因此，此时互反基相当于利用二次型，将对偶空间同构回原空间。
假设 $\{x_i\}$ 为一般基向量组，考虑过渡矩阵为 $T^i_j$ 的基变换：$y_i=T^j_ix_j$，由互反基与普通基的关系得：
\begin{equation}
y^j=S^j_ix^i~,
\end{equation}
其中 $S^j_i$ 为 $T^j_i$ 的逆矩阵。
运算封闭性
利用互反基的概念，我们可以表示任意单向量的对偶。下面我们来验证，如果 $A$ 是单向量，那么 $A^c=\bar A^{\perp}$
定理 1
给定非退化的几何代数 $G(V,q)$。任取非零单向量 $A=v_1\wedge v_2...\wedge v_k$，由于其非零，可以拓展为 $V$ 上的一组基 $\{v_1,v_2...v_k,v_{k+1}...v_n\}$，则有
\begin{equation}
A^c\propto v^{k+1}\wedge v^{k+2}...\wedge v^n~,
\end{equation}
其中，$\{v^i\}$ 是 $\{v_i\}$ 的互反基。
proof.
由几何代数非退化，可以取 $\bar A$ 上的一组标准正交基 $\{e_i\}^k_{i=1}$，并扩展为全空间的标准正交基 $\{e_i\}^n_{i=1}$。由互反基定义得，$v^{k+m}$ 垂直于 $\bar A$.则
\begin{equation}
\begin{aligned}
A&\propto e_1\wedge e_2...\wedge e_k\\
v^{k+1}\wedge v^{k+2}...\wedge v^n
&=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge...\wedge e_n~,
\end{aligned}
\end{equation}
对 $A$ 取对偶，由定义得
\begin{equation}
\begin{aligned}
A^c&=AI^{-1}\\
&\propto AI\\
&\propto e_1 e_2... e_k e_1 e_2... e_n\\
&=e_{k+1} e_{k+2}... e_n\\
&=e_{k+1}\wedge e_{k+2}\wedge...\wedge e_n~,
\end{aligned}
\end{equation}
得证。
由上述定理可知，单向量的对偶还是单向量。读者也可以进一步证明，单向量集合在其他运算下也是封闭的。
推论 1
给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$。任取两个单向量 $A$，$B$，则 $A\wedge B$ 与 $A\vee B$ 也是单向量
推论 2
给定非退化的几何代数 $\mathcal G(V,q)$。任取两个单向量 $A$，$B$，则 $A\llcorner B$ 也是单向量。
第二个推论的证明需要用到定理 2 $A\llcorner B=(A\wedge B^c)^c$，并结合本节定理 1 。
但实际上，即使是非退化的几何代数，该推论也成立。
推论 3
若 $A,B$ 为几何代数 $\mathcal G(V,q)$ 的两个单向量，则 $A\llcorner B$ 也是单向量。
proof.
设 $A=v_1\wedge v_2\wedge...\wedge v_n$，由基本推论式 13 得，上式可以写为 $A\llcorner B=(v_1\wedge v_2...)\llcorner B=(v_1\llcorner (v_2\llcorner...(v_n\llcorner B))$，因此本推论只需要 $v_n\llcorner B$ 成立。
把 $q$ 写为对角矩阵的形式，通过合同变换使得不为零的对角元都在前 $k$ 列，并设 $v_n=\sum \limits^{n}_{i=1}a^i e_i,u=\sum \limits^{k}_{i=1}a^i e_i$，其中 $\{e_i\}$ 为标准正交基。
代入计算可得：$v_n\llcorner B=u\llcorner B$，该结果是外积的线性组合。
改变二次型，使得第 $k$ 到第 $n$ 列对角元为 1，命名该几何代数为 $\mathcal G(V,p)$，与 $\mathcal G(V,q)$ 共享标准正交基。建立线性同构为 basis 和单向量的恒等映射。因而我们有
\begin{equation}
u\llcorner_q B=u\llcorner _p B~.
\end{equation}
结合
推论 2 ，可得上式为单向量。
与子空间关系
定理 1 的另一种阐述方式为
定理 2
取 $A\in \mathcal B^{\bullet}(V,q)$，若 $q$ 非退化，有
\begin{equation}
\bar A=\bar A^{\perp}~.
\end{equation}
现在给出一些运算与子空间的关系。
定理 3
取 $A,B\in \mathcal B^{\bullet}(V,q)$，则有
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
A \wedge B \neq 0 & \Longrightarrow \overline{A \wedge B}=\bar{A} \oplus \bar{B} \\
\bar{A}+\bar{B}=V & \Longrightarrow \overline{A \vee B}=\bar{A} \cap \bar{B} \\
\bar{A} \subseteq \bar{B} & \Longrightarrow A\llcorner B=A B \\
A\llcorner B \neq 0 & \Longrightarrow \overline{A\llcorner B}=\bar{A}^{\perp} \cap \bar{B} \\
\bar{A} \cap \bar{B}^{\perp} \neq\{0\} & \Longrightarrow A\llcorner B=0 .
\end{aligned}\right.~
\end{equation}
对于第一条，我们由左边可知，$A,B$ 各自对应的线性无关组合在一起也是线性无关的。若 $\bar A,\bar B$ 有非 0 元素为 $v$，可知 $-v$ 也是交集元素，则合在一起的基矢组线性相关。
对于第二条，设 $\bar A$ 对应基矢组 $\{e_i\}^k_{i=1}$，$\bar B$ 对应基矢组 $\{e_i\}^n_{i=r+1}$，即交集部分为组 $\{e_i\}^k_{i=r+1}$。根据定义有
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \vee B &=(A^c\wedge B^c)^c\\
&\propto\left(\bigwedge\limits^n_{i=k+1}e_i\wedge \bigwedge\limits^r_{i=1}e_i\right)^c\\
&=\bigwedge\limits^k_{i=r+1}e_i~,
\end{aligned}
\end{equation}
因此第二条成立。
读者可以验证第三条。
第四条的证明思路仿照推论 3 。由于 $A\llcorner B=(v_1\wedge v_2...)\llcorner B=(v_1\llcorner (v_2\llcorner...(v_n\llcorner B))$，我们只消验证第四条对任意 $v\in V$ 都成立即可。
非退化的情况下把 $\bar B$ 内的一组正交基 $\{e_i\}^k_{i=1}$ 扩展为全空间的正交基，然后证明该式成立。
下面证明二次型退化的情况下该式依然成立。
令 $q$ 为该线性空间的标准二次型，前 k 个对角元不为 0，其他的都为 0。令 $p$ 为把 $q$ 中为 0 对角元改为 1 的结果。外积与二次型无关，所以可以建立从 $\mathcal G(V,q)$ 到 $\mathcal G(V,p)$ 的线性同构（恒等映射），该同构保外积形式不变。令 $\{e_i\}^n_{i=1}$ 为这两个代数的公共正交基，$v=a^ie_i,u=\sum \limits ^k_{i=1}a^ie_i$。则我们有：
\begin{equation}
v_{\llcorner q} B=u_{\llcorner q}B=u_{\llcorner p}B=\bar{v}^{\perp} \cap \bar{B}~,
\end{equation}
由
推论 3 可得，上式为单向量，且由前面的证明可知，非退化下其张成的空间为 $\bar u^{\perp}\cap\bar B$。最后我们只需要证明：$u^{\perp}|_p=v^{\perp}|_q$。
设 $x=\{b^ie_i|x\in u^{\perp}|_p\}$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
u\cdot x|_p&=\sum \limits^k_{i=1}a^i b^i p(e_i)=0\\
& \Leftrightarrow \sum \limits^n_{i=1}a^i b^i q(e_i)=0\\
& \Leftrightarrow u^{\perp}|_p=v^{\perp}|_q~.
\end{aligned}
\end{equation}
得证。回忆一下从分次角度看左内积，“若 $A$ 是任意 $ \boldsymbol{\mathbf{s}} -$ 向量，B 是任意 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 向量，$A\llcorner B=< AB>_{s-k}$”，而本文进一步说明了如果左内积的结果非零，那么该分次空间其实由 $A\perp$ 中 B 的部分张成。举个例子，$(e_1+e_2)\llcorner (e_1+e_2+e_3)=(e_1-e_2)\wedge e_3$。
第五条也是用相同思路证明，验证 $A$ 是向量的情况。$\bar A \cap \bar B^{\perp}$ 说明 $A$ 正交于 $B$，因此无论取什么基都能得出该结论。