单向量的运算

贡献者：叶月2_

本文存在未完成的内容。

　　注：本文参考 Jier Peter 的《代数学基础》。

　　在上一节，我们介绍了单向量的基本运算。本节着重讨论外积、对偶以及左内积运算在单向量集合上的性质，即这些运算在单向量集合上是否封闭，以及运算结果与子空间的关系。需要注意的是，左内积以及对偶运算往往需要我们取一组正交基，因为用集合语言讨论非常方便，所以对于退化二次型，我们需要仔细检验某些结论是否成立。

互反基

　　由于几何代数定义在线性空间上，所以我们也可以定义 “对偶基” 的概念。稍后我们可以发现，对单向量取对偶后其子空间和 “对偶基” 的关系。

定义 1　

　　给定非退化的几何代数 $G (V, q)$ ， ${e_{1}, e_{2} . . . e_{k}}$ 是 $V$ 上的一组基，则可以定义该基的互反基(reciprocal basis) ${e^{1}, e^{2} . . . e^{k}}$ ，使得

\begin{matrix} (1) & e^{i} * e_{j} = δ_{j}^{i} . \end{matrix}

　　 reciprocal 也可翻译为 “互逆”、“对偶” 和 “倒易” 等。与对偶空间的概念相似，无论是定义中的基向量组还是互反基，都不要求正交性。

　　不过非退化的几何代数里总存在标准正交基。在取了标准正交基后，其互反基实际上就是这组基本身： $e^{i} = e_{i}$ 。因此，此时互反基相当于利用二次型，将对偶空间同构回原空间。假设 ${x_{i}}$ 为一般基向量组，考虑过渡矩阵为 $T_{j}^{i}$ 的基变换： $y_{i} = T_{i}^{j} x_{j}$ ，由互反基与普通基的关系得：

\begin{matrix} (2) & y^{j} = S_{i}^{j} x^{i}, \end{matrix}

其中

S_{i}^{j}

为

T_{i}^{j}

的逆矩阵。

运算封闭性

　　利用互反基的概念，我们可以表示任意单向量的对偶。下面我们来验证，如果 $A$ 是单向量，那么 $A^{c} = {\bar{A}}^{⊥}$

定理 1　

　　给定非退化的几何代数 $G (V, q)$ 。任取非零单向量 $A = v_{1} \land v_{2} . . . \land v_{k}$ ，由于其非零，可以拓展为 $V$ 上的一组基 ${v_{1}, v_{2} . . . v_{k}, v_{k + 1} . . . v_{n}}$ ，则有

\begin{matrix} (3) & A^{c} \propto v^{k + 1} \land v^{k + 2} . . . \land v^{n}, \end{matrix}

　　其中， ${v^{i}}$ 是 ${v_{i}}$ 的互反基。

　　 proof. 由几何代数非退化，可以取 $\bar{A}$ 上的一组标准正交基 ${e_{i}}_{i = 1}^{k}$ ，并扩展为全空间的标准正交基 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 。由互反基定义得， $v^{k + m}$ 垂直于 $\bar{A}$ .则

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} A & \propto e_{1} \land e_{2} . . . \land e_{k} \\ v^{k + 1} \land v^{k + 2} . . . \land v^{n} & = e_{k + 1} \land e_{k + 2} \land . . . \land e_{n}, \end{aligned} \end{matrix}

对

A

取对偶，由定义得

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} A^{c} & = A I^{- 1} \\ \propto A I \\ \propto e_{1} e_{2} . . . e_{k} e_{1} e_{2} . . . e_{n} \\ = e_{k + 1} e_{k + 2} . . . e_{n} \\ = e_{k + 1} \land e_{k + 2} \land . . . \land e_{n}, \end{aligned} \end{matrix}

得证。

　　由上述定理可知，单向量的对偶还是单向量。读者也可以进一步证明，单向量集合在其他运算下也是封闭的。

推论 1　

　　给定非退化的几何代数 $G (V, q)$ 。任取两个单向量 $A$ ， $B$ ，则 $A \land B$ 与 $A \lor B$ 也是单向量

推论 2　

　　给定非退化的几何代数 $G (V, q)$ 。任取两个单向量 $A$ ， $B$ ，则 $A ⌞ B$ 也是单向量。

　　第二个推论的证明需要用到定理 2 $A ⌞ B = (A \land B^{c})^{c}$ ，并结合本节定理 1 。但实际上，即使是非退化的几何代数，该推论也成立。

推论 3　

　　若 $A, B$ 为几何代数 $G (V, q)$ 的两个单向量，则 $A ⌞ B$ 也是单向量。

　　 proof. 设 $A = v_{1} \land v_{2} \land . . . \land v_{n}$ ，由基本推论式 13 得，上式可以写为 $A ⌞ B = (v_{1} \land v_{2} . . .) ⌞ B = (v_{1} ⌞ (v_{2} ⌞ . . . (v_{n} ⌞ B))$ ，因此本推论只需要 $v_{n} ⌞ B$ 成立。把 $q$ 写为对角矩阵的形式，通过合同变换使得不为零的对角元都在前 $k$ 列，并设 $v_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a^{i} e_{i}, u = \sum_{i = 1}^{k} a^{i} e_{i}$ ，其中 ${e_{i}}$ 为标准正交基。

　　代入计算可得： $v_{n} ⌞ B = u ⌞ B$ ，该结果是外积的线性组合。

　　改变二次型，使得第 $k$ 到第 $n$ 列对角元为 1，命名该几何代数为 $G (V, p)$ ，与 $G (V, q)$ 共享标准正交基。建立线性同构为 basis 和单向量的恒等映射。因而我们有

\begin{matrix} (6) & u ⌞_{q} B = u ⌞_{p} B . \end{matrix}

结合推论 2 ，可得上式为单向量。

与子空间关系

　　定理 1 的另一种阐述方式为

定理 2　

　　取 $A \in B^{∙} (V, q)$ ，若 $q$ 非退化，有

\begin{matrix} (7) & \bar{A} = {\bar{A}}^{⊥} . \end{matrix}

　　现在给出一些运算与子空间的关系。

定理 3　

　　取 $A, B \in B^{∙} (V, q)$ ，则有

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} A \land B \neq 0 & ⟹ \overset{―}{A \land B} = \bar{A} \oplus \bar{B} \\ \bar{A} + \bar{B} = V & ⟹ \overset{―}{A \lor B} = \bar{A} \cap \bar{B} \\ \bar{A} \subseteq \bar{B} & ⟹ A ⌞ B = A B \\ A ⌞ B \neq 0 & ⟹ \overset{―}{A ⌞ B} = {\bar{A}}^{⊥} \cap \bar{B} \\ \bar{A} \cap {\bar{B}}^{⊥} \neq {0} & ⟹ A ⌞ B = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　对于第一条，我们由左边可知， $A, B$ 各自对应的线性无关组合在一起也是线性无关的。若 $\bar{A}, \bar{B}$ 有非 0 元素为 $v$ ，可知 $- v$ 也是交集元素，则合在一起的基矢组线性相关。

　　对于第二条，设 $\bar{A}$ 对应基矢组 ${e_{i}}_{i = 1}^{k}$ ， $\bar{B}$ 对应基矢组 ${e_{i}}_{i = r + 1}^{n}$ ，即交集部分为组 ${e_{i}}_{i = r + 1}^{k}$ 。根据定义有

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} A \lor B & = (A^{c} \land B^{c})^{c} \\ \propto {(⋀_{i = k + 1}^{n} e_{i} \land ⋀_{i = 1}^{r} e_{i})}^{c} \\ = ⋀_{i = r + 1}^{k} e_{i}, \end{aligned} \end{matrix}

因此第二条成立。

　　读者可以验证第三条。第四条的证明思路仿照推论 3 。由于 $A ⌞ B = (v_{1} \land v_{2} . . .) ⌞ B = (v_{1} ⌞ (v_{2} ⌞ . . . (v_{n} ⌞ B))$ ，我们只消验证第四条对任意 $v \in V$ 都成立即可。

　　非退化的情况下把 $\bar{B}$ 内的一组正交基 ${e_{i}}_{i = 1}^{k}$ 扩展为全空间的正交基，然后证明该式成立。

　　下面证明二次型退化的情况下该式依然成立。令 $q$ 为该线性空间的标准二次型，前 k 个对角元不为 0，其他的都为 0。令 $p$ 为把 $q$ 中为 0 对角元改为 1 的结果。外积与二次型无关，所以可以建立从 $G (V, q)$ 到 $G (V, p)$ 的线性同构（恒等映射），该同构保外积形式不变。令 ${e_{i}}_{i = 1}^{n}$ 为这两个代数的公共正交基， $v = a^{i} e_{i}, u = \sum_{i = 1}^{k} a^{i} e_{i}$ 。则我们有：

\begin{matrix} (10) & v_{⌞ q} B = u_{⌞ q} B = u_{⌞ p} B = {\bar{v}}^{⊥} \cap \bar{B}, \end{matrix}

由推论 3 可得，上式为单向量，且由前面的证明可知，非退化下其张成的空间为

{\bar{u}}^{⊥} \cap \bar{B}

。最后我们只需要证明：

u^{⊥} |_{p} = v^{⊥} |_{q}

。

　　设 $x = {b^{i} e_{i} | x \in u^{⊥} |_{p}}$ ，则

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} u \cdot x |_{p} & = \sum_{i = 1}^{k} a^{i} b^{i} p (e_{i}) = 0 \\ \Leftrightarrow \sum_{i = 1}^{n} a^{i} b^{i} q (e_{i}) = 0 \\ \Leftrightarrow u^{⊥} |_{p} = v^{⊥} |_{q} . \end{aligned} \end{matrix}

得证。回忆一下从分次角度看左内积，“若

A

是任意

s -

向量，B 是任意

k

向量，

A ⌞ B =< A B >_{s - k}

”，而本文进一步说明了如果左内积的结果非零，那么该分次空间其实由

A ⊥

中 B 的部分张成。举个例子，

(e_{1} + e_{2}) ⌞ (e_{1} + e_{2} + e_{3}) = (e_{1} - e_{2}) \land e_{3}

。

　　第五条也是用相同思路证明，验证 $A$ 是向量的情况。 $\bar{A} \cap {\bar{B}}^{⊥}$ 说明 $A$ 正交于 $B$ ，因此无论取什么基都能得出该结论。