理想气体单粒子能级密度
贡献者： addis; _Eden_
1. 相空间法
这里只考虑单粒子共 $6$ 个自由度构成的相空间。满足能量 $<\epsilon$ 的状态数为
\begin{equation}
\Omega_0 = \frac{1}{h^3}\int\limits_{\sum {p^2} \leqslant 2m\epsilon} \,\mathrm{d}^{3}{q} \,\mathrm{d}^{3}{p}
= \frac{V}{h^3}\frac43 \pi {p^3}
= \frac{V}{h^3}\frac43 \pi (2m\varepsilon)^{3/2}~.
\end{equation}
相空间中的能量密度为 $(\Omega_0(E+\Delta E)-\Omega_0(E))/\Delta E(\Delta E\rightarrow 0)$，即
\begin{equation}
a(\varepsilon) = \frac{\mathrm{d}{\Omega_0}}{\mathrm{d}{\varepsilon}} = \frac{2\pi V(2m)^{3/2}}{h^3} \varepsilon^{1/2}~.
\end{equation}
对于多粒子体系，也有类似公式
式 4 。
在这种计算方法中，我们假定了每个状态点占据相空间的体积为 $h^3$（对于单粒子而言）。然而为什么是 $h^3$ 我们不清楚，只是从量子力学的不确定原理给出了一个 “说法”，没有给出证明。下面我们将从量子力学的角度来解释这件事情。
2. 量子力学法
在量子力学中，束缚态的能级是分立的。盒子对粒子的波函数有一定束缚，可看作是三维的无限深方势阱1。单粒子的能级为
\begin{equation}
\varepsilon = \frac{\hbar ^2}{2m} \left[ \left(\frac{\pi n_x}{L_x} \right) ^2 + \left(\frac{\pi n_y}{L_y} \right) ^2 + \left(\frac{\pi n_z}{L_z} \right) ^2 \right] = \frac{\hbar ^2}{2m} (k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)~.
\end{equation}
在 $k$ 空间中，每个能级所占的体积为
\begin{equation}
V_1 = \frac{\pi^3}{L_x L_y L_z} = \frac{\pi^3}{V}~.
\end{equation}
$k$ 空间中，能量小于 $E$ 的量子态数为（注意 $n$ 为正值，所以只求一个卦限的体积，要乘 $1/8$）
\begin{equation}
\Omega_0 = \left. \frac18\cdot \frac{\hbar^2}{2m}\frac43 \pi k^3 \middle/ \frac{\pi^2}{V} \right. = \frac{V}{h^3}\frac43 \pi(2m\varepsilon)^{3/2}~.
\end{equation}
这恰好就是
式 1 ，对能量求导得
式 2 。于是我们能明白为什么要取相格的体积为 $h^3$，这样推导出的微观状态数才与量子态数相符。
1. ^ 在一些教材中，会用周期性边界条件进行推导，读者不妨尝试一下，两种边界条件退出来的相格的大小都是相同的。