贡献者： 零穹; Giacomo
本节将引入仿射子空间的概念。0 维的仿射子空间是个点，1 维的是直线，$n-1$ 维的则是超平面（$n$ 为仿射空间的维数）。本节将证明，仿射空间中的平面本身也是一个仿射空间，且任何的平面包含通过平面上两不同点的直线。此外，平面作为仿射空间，其装备了一个方向子空间（即与其相配备的矢量空间），若两平面的方向子空间相同，就称它们平行，平行的平面必能通过相互平移得到。抛去仿射空间的内容，这些都与我们通常的几何直觉相一致。以上内容都能在本节得到。
1. 仿射子空间
定义 1
设 $(\mathbb A,V)$ 是个 $n$ 维的仿射空间，$U$ 是 $V$ 的矢量子空间。在 $\mathbb A$ 中固定一点 $\dot p$，称集合
\begin{equation}
\Pi=\dot p+U=\{\dot p+u|u\in U\}~
\end{equation}
是 $\mathbb A$ 的一个 $m=\dim U$ 维的
平面（或
仿射子空间）。当 $m=0$ 是，$\Pi$ 称为
点；$m=1$ 称为
直线；$m=n-1$ 称为
超平面。$U$ 称为 $\Pi$ 的
方向子空间。显然，由于 $\dot p=\dot p+0\in \Pi$
1，故也称 $\Pi$ 是经过点 $\dot p$ 的在方向子空间 $U$ 上的仿射子空间。
“方向子空间 $U$” 可以这样理解：它的每一元 $u\in U$ 把点 $\dot p$ 沿着方向 $u$ 移动到点 $\dot p+u$，并且 $\Pi$ 中所有的点都可以这样得到。
定理 1
仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 中的平面 $\Pi=\dot p+U$ 本身也是个仿射空间，它与矢量空间 $U$ 相伴。
证明：由于 $U\in V$ 且 $U$ 是个矢量子空间，故
\begin{equation}
\dot q+0=\dot q~,\quad (\dot q+v)+u=\dot q+(v+u)~,
\end{equation}
显然对 $\forall \dot q\in\mathbb A,\forall u,v\in U$ 成立。于是便得到了仿射空间定义中的性质 1（
定义 1 ）。
其次，由式 1 ，对 $\forall \dot q,\dot q'\in\Pi$，$\exists u,u'\in U$，使得 $\dot q=\dot p+u,\dot q'=\dot p+u'$。则
\begin{equation}
\overrightarrow{qq'}=\overrightarrow{pq'}-\overrightarrow{pq}=u'-u\in U~
\end{equation}
存在。并由 $\dot q,\dot q'$ 在 $V$ 中对应矢量的唯一性，$\overrightarrow{qq'}\in U$ 必唯一。于是得到仿射空间定义中的性质 2。
证毕！
该定理表明，$\dot p$ 完全确定了 $\Pi$ 到 $U$ 的双射（子节 1 中性质 1）。于是 $U=\{\overrightarrow{pq}|q\in \Pi\}$，即方向子空间 $U$ 完全由平面 $\Pi$ 确定。
对 1 维的直线 $\Pi$，设矢量空间 $V$ 定义在域 $\mathbb F$ 上，则
\begin{equation}
\Pi=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|\lambda\in \mathbb F\}~.
\end{equation}
定理 2
子集 $\Pi \subset\mathbb A$ 是个过点 $\dot p$ 的平面，当且仅当，它能整个包含通过其上两个不同点的直线（域 $\mathbb F$ 的特征（定义 6 ）$\mathrm{ch}\,\mathbb F\neq 2$）。
证明：1.
$\Rightarrow$
由 $\Pi$ 是个平面，则 $\Pi=\dot p+U$，$U\in V$ 是个矢量子空间。$\forall\dot q_1,\dot q_2\in \Pi$，过 $\dot q_1,\dot q_2$ 直线上的点必形为
\begin{equation}
\dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+\overrightarrow{pq_1}+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}~.
\end{equation}
设 $\dot q_1=\dot p+u_1,\dot q_2=\dot p+u_2$，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
&u_1,u_2\in U,\quad \overrightarrow{q_1q_2}=\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1}=u_2-u_1~,\\
&\Downarrow\\
&\dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+u_1+\lambda(u_2-u_1)\in\dot p+U=\Pi~.
\end{aligned}
\end{equation}
2.$\Leftarrow$
设 $U=\{\overrightarrow{pq}|\dot q\in \Pi\}$，则只需证明 $U$ 是个矢量子空间。据条件，对 $\forall \dot q_1,\dot q_2\in\Pi$
\begin{equation}
\dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+\overrightarrow{pq_1}+\lambda(\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1})\in\Pi~,
\end{equation}
即
\begin{equation}
\overrightarrow{pq_1},\overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow \overrightarrow{pq_1}+\lambda(\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1})\in U~.
\end{equation}
取 $\dot{q_1}=\dot{p}$，并注意到 $\overrightarrow{pp}=0$，带入上式即得
\begin{equation}
\overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow\lambda\overrightarrow{pq_2}\in U ~.
\end{equation}
取 $\lambda=\frac{1}{2}$，则
\begin{equation}
\overrightarrow{pq_1},\overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow \frac{1}{2}(\overrightarrow{pq_2}+\overrightarrow{pq_1})\in U\Rightarrow \overrightarrow{pq_2}+\overrightarrow{pq_1}\in U~.
\end{equation}
由矢量子空间的定义，于是 $U$ 是 $V$ 的矢量子空间。
证毕！
推论 1
对 $(\mathbb A,V)$ 上的两个平面 $(\Pi',U'),(\Pi'',U'')$，那么 $\Pi=\Pi'\cap\Pi''$ 要么为空集，要么也是一个平面。当 $\Pi$ 为平面时，设 $U$ 是其方向子空间，则 $U=U'\cap U''$。
证明：若 $\Pi'\cap\Pi''=\varnothing$，命题得证。反之，设 $\dot p\in \Pi'\cap\Pi''$，那么 $\Pi'=\dot p+U',\Pi''=\dot p+U''$。此时，对 $\forall\dot q\in\Pi'\cap\Pi''$，就有
\begin{equation}
\dot q=\dot p+u'=\dot p+u''\qquad (u'\in U',u''\in U'')~.
\end{equation}
于是，$u'=u''\in U'\cap U''$。即 $\Pi$ 是所有形如 $\dot p+u,u\in U'\cap U''$ 的点组成。而矢量子空间的交仍是个矢量子空间（
定理 2 ），故 $\Pi$ 是与 $U=U'\cap U''$ 相伴的平面。
证毕！
2. 平行
定义 2
若两平面具有同一方向子空间 $U$，则称两平面是平行的。
定理 3
平行的平面都可以通过相互平移得到。即若 $(\Pi,U),(\Pi',U)$ 是仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 的两个平行的平面，则存在 $v\in V$，使得 $\Pi=t_{v}\Pi'$，其中 $t_v$ 是平移映射（式 4 ）。
证明：设
\begin{equation}
\Pi=\dot p+U~,\quad \Pi'=\dot p'+U~.
\end{equation}
则
\begin{equation}
\Pi=\dot p+U=\dot p'+\overrightarrow{p'p}+U=t_{\overrightarrow{p'p}}(\dot p'+U)=t_{\overrightarrow{p'p}} \Pi'~.
\end{equation}
证毕！
由式 13 ，当 $\overrightarrow{p'p}\in U$ 时，由于 $t_{\overrightarrow{p'p}}+U=U$，有
\begin{equation}
\Pi=t_{\overrightarrow{p'p}}(\dot p'+U)=\dot p'+U=\Pi'~,
\end{equation}
此时两平面重合。
习题 1
试证明：两平行平面 $\dot p+U,\dot p'+U$ 重合，则 $\overrightarrow{p'p}\in U$。
1. ^ 这里 0 是 $V$ 中的矢量