仿射子空间

                     

贡献者: 零穹

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预备知识 仿射空间

   本节将引入仿射子空间的概念,仿射子空间也称为仿射空间中的平面.0 维的仿射子空间是个点,1 维的是直线,$n-1$ 维的则是超平面($n$ 为仿射空间的维数).本节将证明,仿射空间中的平面本身也是一个仿射空间,且任何的平面包含通过平面上两不同点的直线.此外,平面作为仿射空间,其装备了一个方向子空间(即与其相配备的矢量空间),若两平面的方向子空间相同,就称它们平行,平行的平面必能通过相互平移得到.抛去仿射空间的内容,这些都与我们通常的几何直觉相一致.以上内容都能在本节得到.

1. 仿射子空间

定义 1 

   设 $(\mathbb A,V)$ 是个 $n$ 维的仿射空间,$U$ 是 $V$ 的 矢量子空间.在 $\mathbb A$ 中固定一点 $\dot p$,称集合

\begin{equation} \Pi=\dot p+U=\{\dot p+u|u\in U\} \end{equation}
是 $\mathbb A$ 的一个 $m=\dim U$ 维的平面(或仿射子空间).当 $m=0$ 是,$\Pi$ 称为;$m=1$ 称为直线;$m=n-1$ 称为超平面.$U$ 称为 $\Pi$ 的方向子空间.显然,由于 $\dot p=\dot p+0\in \Pi$1,故也称 $\Pi$ 是经过点 $\dot p$ 的在方向子空间 $U$ 上的仿射子空间.

   “方向子空间 $U$” 可以这样理解:它的每一元 $u\in U$ 把点 $\dot p$ 沿着方向 $u$ 移动到点 $\dot p+u$,并且 $\Pi$ 中所有的点都可以这样得到.

定理 1 

   仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 中的平面 $\Pi=\dot p+U$ 本身也是个仿射空间,它与矢量空间 $U$ 相伴.

   证明:由于 $U\in V$ 且 $U$ 是个矢量子空间,故

\begin{equation} \dot q+0=\dot q,\quad (\dot q+v)+u=\dot q+(v+u) \end{equation}
显然对 $\forall \dot q\in\mathbb A,\forall u,v\in U$ 成立.于是便得到了仿射空间定义中的性质 1(定义 1 ).

   其次,由式 1 ,对 $\forall \dot q,\dot q'\in\Pi$,$\exists u,u'\in U$,使得 $\dot q=\dot p+u,\dot q'=\dot p+u'$.则

\begin{equation} \overrightarrow{qq'}=\overrightarrow{pq'}-\overrightarrow{pq}=u'-u\in U \end{equation}
存在.并由 $\dot q,\dot q'$ 在 $V$ 中对应矢量的唯一性,$\overrightarrow{qq'}\in U$ 必唯一.于是得到仿射空间定义中的性质 2.

   证毕!

   该定理表明,$\dot p$ 完全确定了 $\Pi$ 到 $U$ 的双射(子节 1 中性质 1).于是 $U=\{\overrightarrow{pq}|q\in \Pi\}$,即方向子空间 $U$ 完全由平面 $\Pi$ 确定.

   对 1 维的直线 $\Pi$,设矢量空间 $V$ 定义在域 $\mathbb F$ 上,则

\begin{equation} \Pi=\{\dot p+\lambda\overrightarrow{pq}|\lambda\in \mathbb F\} \end{equation}

定理 2 

   子集 $\Pi \subset\mathbb A$ 是个过点 $\dot p$ 的平面,当且仅当,它能整个包含通过其上两个不同点的直线(域 $\mathbb F$ 的特征(定义 8 )$\mathrm{ch}\,\mathbb F\neq 2$).

   证明:1. $\Rightarrow$

   由 $\Pi$ 是个平面,则 $\Pi=\dot p+U$,$U\in V$ 是个矢量子空间.$\forall\dot q_1,\dot q_2\in \Pi$,过 $\dot q_1,\dot q_2$ 直线上的点必形为

\begin{equation} \dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+\overrightarrow{pq_1}+\lambda\overrightarrow{q_1q_2} \end{equation}
设 $\dot q_1=\dot p+u_1,\dot q_2=\dot p+u_2$,则
\begin{equation} \begin{aligned} &u_1,u_2\in U,\quad \overrightarrow{q_1q_2}=\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1}=u_2-u_1\\ &\Downarrow\\ &\dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+u_1+\lambda(u_2-u_1)\in\dot p+U=\Pi \end{aligned} \end{equation}

   2.$\Leftarrow$

   设 $U=\{\overrightarrow{pq}|\dot q\in \Pi\}$,则只需证明 $U$ 是个矢量子空间.据条件,对 $\forall \dot q_1,\dot q_2\in\Pi$

\begin{equation} \dot q_1+\lambda\overrightarrow{q_1q_2}=\dot p+\overrightarrow{pq_1}+\lambda(\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1})\in\Pi \end{equation}
\begin{equation} \overrightarrow{pq_1},\overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow \overrightarrow{pq_1}+\lambda(\overrightarrow{pq_2}-\overrightarrow{pq_1})\in U \end{equation}
取 $\dot{q_1}=\dot{p}$,并注意到 $\overrightarrow{pp}=0$,带入上式即得
\begin{equation} \overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow\lambda\overrightarrow{pq_2}\in U \end{equation}
取 $\lambda=\frac{1}{2}$,则
\begin{equation} \overrightarrow{pq_1},\overrightarrow{pq_2}\in U\Rightarrow \frac{1}{2}(\overrightarrow{pq_2}+\overrightarrow{pq_1})\in U\Rightarrow \overrightarrow{pq_2}+\overrightarrow{pq_1}\in U \end{equation}
由矢量子空间的定义,于是 $U$ 是 $V$ 的矢量子空间.

   证毕!

推论 1 

   对 $(\mathbb A,V)$ 上的两个平面 $(\Pi',U'),(\Pi'',U'')$,那么 $\Pi=\Pi'\cap\Pi''$ 要么为空集,要么也是一个平面.当 $\Pi$ 为平面时,设 $U$ 是其方向子空间,则 $U=U'\cap U''$.

   证明:若 $\Pi'\cap\Pi''=\varnothing$,命题得证.反之,设 $\dot p\in \Pi'\cap\Pi''$,那么 $\Pi'=\dot p+U',\Pi''=\dot p+U''$.此时,对 $\forall\dot q\in\Pi'\cap\Pi''$,就有

\begin{equation} \dot q=\dot p+u'=\dot p+u'',\quad u'\in U',u''\in U'' \end{equation}
于是,$u'=u''\in U'\cap U''$.即 $\Pi$ 是所有形如 $\dot p+u,u\in U'\cap U''$ 的点组成.而矢量子空间的交仍是个矢量子空间(定理 1 ),故 $\Pi$ 是与 $U=U'\cap U''$ 相伴的平面.

   证毕!

2. 平行

定义 2 

   若两平面具有同一方向子空间 $U$,则称两平面是平行的.

定理 3 

   平行的平面都可以通过相互平移得到.即若 $(\Pi,U),(\Pi',U)$ 是仿射空间 $(\mathbb A,V)$ 的两个平行的平面,则存在 $v\in V$,使得 $\Pi=t_{v}\Pi'$,其中 $t_v$ 是平移映射(式 4 ).

   证明:

\begin{equation} \Pi=\dot p+U,\quad \Pi'=\dot p'+U \end{equation}
\begin{equation} \Pi=\dot p+U=\dot p'+\overrightarrow{p'p}+U=t_{\overrightarrow{p'p}}(\dot p'+U)=t_{\overrightarrow{p'p}} \Pi' \end{equation}

   证毕!

   由式 13 ,当 $\overrightarrow{p'p}\in U$ 时,由于 $t_{\overrightarrow{p'p}}+U=U$,有

\begin{equation} \Pi=t_{\overrightarrow{p'p}}(\dot p'+U)=\dot p'+U=\Pi' \end{equation}
此时两平面重合.

习题 1 

   试证明:两平行平面 $\dot p+U,\dot p'+U$ 重合,则 $\overrightarrow{p'p}\in U$.


1. ^ 这里 0 是 $V$ 中的矢量

                     

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