有限深不对称方势阱
贡献者： 零穹; addis
- 本文存在未完成的内容。
- 需要讨论散射态，即 $E > V_1$ 的两种情况
图 1：一维不对称势阱
本节我们来解下面的一维不对称势阱的离散谱（图 1 ）。
\begin{equation}
V(x)=\left\{\begin{aligned}
&V_1\quad(x<0)\\
&0\quad (0< x< L)\\
&V_2\quad(x>L)
\end{aligned}\right.
,\qquad (V_1 < V_2)~.
\end{equation}
在 $x<0$ 区域内的其薛定谔方程为
\begin{equation}
\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_1)\psi(x)=0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\psi(x)=C_1 e^{\kappa_1 x},\quad \kappa_1=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_1-E)}~.
\end{equation}
在 $x>L$ 区域内的其薛定谔方程为
\begin{equation}
\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +(E-V_2)\psi(x)=0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\psi=C_2 e^{-\kappa_2 x},\quad \kappa_2=\frac{1}{\hbar}\sqrt{2m(V_2-E)}~.
\end{equation}
在阱内 $0 < x < L$，薛定谔方程为
\begin{equation}
\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi(x)}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +E\psi(x)=0~.
\end{equation}
\begin{equation}
\psi=C \sin\left(kx+\delta\right) ,\quad k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}~.
\end{equation}
根据势阱边上 $\psi'/\psi$ 的连续性条件，得
\begin{equation}
k\cot\delta=\kappa_1=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_1-k^2},\quad k \cot\left(Lk+\delta\right) =-\kappa_2=-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_2-k^2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\sin\delta=\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}},\quad \sin\left(kL+\delta\right) =-\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}}~.
\end{equation}
\begin{equation}
kL=n\pi-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_1}}-\arcsin\frac{k\hbar}{\sqrt{2mV_2}}~.
\end{equation}
图 2：式 11 左右两式对应的函数图像（上层浅红色代表右式，下层浅橘色代表左式），其中 $\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_1}}=0.5,\frac{\hbar}{\sqrt{2mV_2}}=0.1,n=1$
由于反正弦函数宗量不能超过 1，$k$ 值显然只能介于 $0$ 到 $\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 之间。式 10 左边随 $k$ 单调增加，右边却随 $k$ 单调减小。因此式 10 有根的必要条件为 $k=\sqrt{2mV_1}/\hbar$ 时，式 10 右边小于左边。特别是，由 $n=1$ 所得的下列不等式
\begin{equation}
L\frac{\sqrt{2mV_1}}{\hbar}\geq\frac{\pi}{2}-\arcsin\sqrt{\frac{V_1}{V_2}}~.
\end{equation}