无限深阶梯势阱
贡献者： addis
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预备知识
定态薛定谔方程
使用原子单位
(1)
V
(
x
)
=
{
+
∞
(
x
⩽
−
l
)
0
(
−
l
⩽
x
<
0
)
V
0
(
0
⩽
x
⩽
l
)
+
∞
(
l
⩽
x
)
.
阶梯两侧得波数满足
(2)
k
2
=
2
V
0
+
k
1
2
.
令波函数的一个解为
(3)
ψ
1
(
x
)
=
{
A
1
exp
(
i
k
x
)
(
−
l
⩽
x
<
0
)
C
1
exp
(
i
k
1
x
)
+
D
1
exp
(
−
i
k
1
x
)
(
0
⩽
x
⩽
l
)
.
在原点匹配函数值和导数，得
(4)
{
A
1
=
C
1
+
D
1
k
A
1
=
k
1
C
1
−
k
1
D
1
,
解得
(5)
{
C
1
=
k
1
+
k
2
k
1
A
1
D
1
=
k
1
−
k
2
k
1
A
1
.
令波函数的一个解为
(6)
ψ
2
(
x
)
=
{
B
2
exp
(
−
i
k
x
)
(
−
l
⩽
x
<
0
)
C
2
exp
(
i
k
x
)
+
D
2
exp
(
−
i
k
x
)
(
0
⩽
x
⩽
l
)
,
在原点匹配函数值和导数，得
(7)
{
A
1
=
C
1
+
D
1
−
k
A
1
=
k
1
C
1
−
k
1
D
1
.
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