图

相空间

   单个粒子的相空间

   单个粒子(看做质点) 的状态可以由 3 个位置坐标 $(x,y,z)$ 和三个动量坐标 $(p_x, p_y, p_z)$ 来描述, 为了便于拓展到一般情况, 我们用 $q_1 \equiv x$, $q_2 \equiv y$, $q_3 \equiv z$ 和 $p_1 \equiv p_x$, $p_2 \equiv p_y$, $p_3 \equiv p_z$ 表示. 想象一个由 3 个 $q_i$ 坐标和 3 个 $p_i$ 坐标组成的 6 维空间, 体积元定义为

\begin{equation} \dd{\Omega_1} = \frac{1}{h^3} \dd{q_1}\dd{q_2}\dd{q_3} \vdot \dd{p_1}\dd{p_2}\dd{p_3} \end{equation}
为了方便表示, 简写为 $d{\Omega_1} = \dd[3]{q} \vdot \dd[3]{p}$.
\begin{equation} \Omega_1 = \frac{1}{h^3} \int_{\Omega_1} \dd[3]{q} \dd[3]{p} \end{equation}
积分对所有可能的 $q_i$ 和 $p_i$ 进行. 例如粒子若被限制在一个长宽高分别为 $L_x, L_y, L_z$ 的盒子里, 而动量没有限制, 那么上面积分变为
\begin{equation} \Omega_1 = \frac{1}{h^3} \int_0^{L_x} \int_0^{L_y} \int_0^{L_z} \int \dd{q_1} \dd{q_2} \dd{q_3} \dd[3]{p} = \frac{L_x L_y L_z}{h^3} \int \dd[3]{p} \end{equation}
经典力学中, 对于 $N$ 个粒子的系统, 可以用 $3N$ 个位置坐标和 $3N$ 个动量坐标来完全描述系统的状态. 则相空间为 $6N$ 维空间.

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