图

三角函数(复数)

预备知识 指数函数(复数)

定义

   复数域的正弦函数为

\begin{equation} \sin z = \frac{\E^{\I z} - \E^{-\I z}}{2\I} \end{equation}
复数域的余弦函数为
\begin{equation} \cos z = \frac{\E^{\I z} + \E^{-\I z}}{2} \end{equation}
为什么三角函数要这么定义?因为只有这么定义,才能既“兼容”实数范围内的三角函数,同时满足解析的要求(暂不介绍解析的概念).

与实数函数的“兼容性”

   “兼容性”在这里指若将一个复变函数的自变量取实数, 那么结果与使用同名的实数函数相同. 例如将式 1 中的复数 $z$ 取实数 $x$, 得

\begin{equation} \sin z = \frac{\E^{\I x} - \E^{-\I x}}{2\I} \end{equation}
根据欧拉公式
\begin{equation} \E^{\I x} = \cos x + \I\sin x \end{equation}
\begin{equation} \E^{-\I x} = \cos x - \I \sin x \end{equation}
代入得
\begin{equation} \sin z = \frac{(\cos x + \I\sin x) - (\cos x - \I\sin x)}{2\I} = \sin x \end{equation}
同理可证 $\cos z = \cos x$. 证毕.

两角和公式

   利用欧拉公式,容易证明,复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式

\begin{equation} \sinRound{z_1 + z_2} = \sin {z_1}\cos {z_2} + \cos {z_1}\sin {z_2} \end{equation}
\begin{equation} \cosRound {z_1 + z_2} = \cos {z_1}\cos {z_2} - \sin {z_1}\sin {z_2} \end{equation}

实部和虚部

   利用两角和公式,令 $z_1$ 等于实数 $x$, $z_2$ 等于虚数 $\I y$, 则有

\begin{equation} \sin z = \sinRound{x + \I y} = \sin x\cos \I y + \cos x\sin \I y \end{equation}
\begin{equation} \cos z = \cosRound{x + \I y} = \cos x\cos \I y - \sin x\sin \I y \end{equation}
其中
\begin{equation} \cosRound{\I y} = \frac{\E^{-y} + \E^y}{2} = \cosh y \end{equation}
\begin{equation} \sinRound{\I y} = \frac{\E^{-y} - \E^y}{2\I} = \I\frac{\E^y - \E^{-y}}{2} = \I\sinh y \end{equation}
代入得
\begin{equation} \sin z = \sinRound{x + \I y} = \sin x\cosh y + \I\cos x\sinh y \end{equation}
\begin{equation} \cos z = \cosRound{x + \I y} = \cos x\cosh y - \I\sin x\sinh y \end{equation}
这样,就把正余弦的实部和虚部分开来了(当然也可以根据定义直接得到两式).

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