图

三角函数(复数)

预备知识 指数函数(复数)

定义

   复数域的正弦函数为

\begin{equation} \sin z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
复数域的余弦函数为
\begin{equation} \cos z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} z} + \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} z}}{2} \end{equation}
为什么三角函数要这么定义?因为只有这么定义,才能既 “兼容” 实数范围内的三角函数,同时满足解析的要求(暂不介绍解析的概念).

与实数函数的 “兼容性”

   “兼容性” 在这里指若将一个复变函数的自变量取实数, 那么结果与使用同名的实数函数相同. 例如将式 1 中的复数 $z$ 取实数 $x$, 得

\begin{equation} \sin z = \frac{ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} - \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i} } \end{equation}
根据欧拉公式
\begin{equation} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x \end{equation}
\begin{equation} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x} = \cos x - \mathrm{i} \sin x \end{equation}
代入得
\begin{equation} \sin z = \frac{(\cos x + \mathrm{i} \sin x) - (\cos x - \mathrm{i} \sin x)}{2 \mathrm{i} } = \sin x \end{equation}
同理可证 $\cos z = \cos x$. 证毕.

两角和公式

   利用欧拉公式,容易证明,复数范围内的正余弦函数同样满足两角和公式

\begin{equation} \sin\left(z_1 + z_2\right) = \sin {z_1}\cos {z_2} + \cos {z_1}\sin {z_2} \end{equation}
\begin{equation} \cos\left(z_1 + z_2\right) = \cos {z_1}\cos {z_2} - \sin {z_1}\sin {z_2} \end{equation}

实部和虚部

   利用两角和公式,令 $z_1$ 等于实数 $x$, $z_2$ 等于虚数 $ \mathrm{i} y$, 则有

\begin{equation} \sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cos \mathrm{i} y + \cos x\sin \mathrm{i} y \end{equation}
\begin{equation} \cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cos \mathrm{i} y - \sin x\sin \mathrm{i} y \end{equation}
其中
\begin{equation} \cos\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} + \mathrm{e} ^y}{2} = \cosh y \end{equation}
\begin{equation} \sin\left( \mathrm{i} y\right) = \frac{ \mathrm{e} ^{-y} - \mathrm{e} ^y}{2 \mathrm{i} } = \mathrm{i} \frac{ \mathrm{e} ^y - \mathrm{e} ^{-y}}{2} = \mathrm{i} \sinh y \end{equation}
代入得
\begin{equation} \sin z = \sin\left(x + \mathrm{i} y\right) = \sin x\cosh y + \mathrm{i} \cos x\sinh y \end{equation}
\begin{equation} \cos z = \cos\left(x + \mathrm{i} y\right) = \cos x\cosh y - \mathrm{i} \sin x\sinh y \end{equation}
这样,就把正余弦的实部和虚部分开来了(当然也可以根据定义直接得到两式).

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