贡献者： int256
1. 定义
定义 1 个体词
在原子命题中，可以独立存在的客体（句子中的主语、宾语等），称为个体词，可以是个体常量或个体变量。
- 个体常量表示特定的或具体的个体，是不变的，一般用带或不带下标的小写字母 $a, b, c, \dots, a_1, a_2, \dots$ 表示。
- 个体变量表示泛指的或抽象的、不定的个体，是变化的，一般用带或不带下标的小写字母 $x, y, z, \dots, x_1, x_2, \dots$ 表示。
定义 2 论域
所有个体词的取值范围称为论域（或取值域），常用字母 $D$ 表示。
定义 3 谓词
用以刻画客体的属性或心智（类似于一元函数），或多个客体之间的关系（类似于多元函数）的词称为谓词。
定义 4 量词
表达个体词的数量或数量关系的称为量词。
定义 5 全称量词
$\forall x$ 表示全称量词，即 “任意 $x$”、“每个 $x$”、“一切的 $x$”......
符号化时，全称量词 $\forall$ 一般都接 $\to$ 连接词。
定义 6 存在量词
$\exists x$ 表示存在量词，即 “存在 $x$”、“至少有一个 $x$”......
符号化时，存在量词 $\exists$ 一般都接 $\land$（合取、并且）连接词。
定义 7 作用变量与辖域
对于全称量词 $\forall x$ 与存在量词 $\exists x$，对应的符号 $\forall$ 与 $\exists$ 紧接一个变量 $x$，这变量就称作作用变量。
一般将量词加到其谓词之前，描述这个句子或句子的一部分的个体词的数量或数量关系，此时就称这个部分的谓词是这量词的辖域。例如 $(\forall x) F(x)$，则 $F(x)$ 就是这个全称量词的辖域。
定义 8 自由变元与约束变元
有量词约束而在对应量词的辖域范围内的称为约束变元。
无量词约束的称为自由变元。
2. 例子
个体词、谓词与量词的定义比较抽象，下面借助几个例子来理解。
例 1 谓词的例子
用 $P(x)$ 表示 $x$ 是北方人、$Q(x)$ 表示 $x$ 怕冷，$c$ 表示李华，符号化下面这个句子：
除非李华是北方人，否则李华一定怕冷。
首先表示为命题逻辑的形式，先用 $p$ 表示 “李华怕冷”，用 $q$ 表示 “李华是北方人”，原来的句子就可以化作
\begin{equation}
\neg p \to q ~.
\end{equation}
显然 $p$ 就是 $Q(c)$，而 $q$ 就是 $P(c)$，所以这句子就可以化为
\begin{equation}
\neg Q(c) \to P(c) ~.
\end{equation}
例 2 全称量词的例子
符号化下面这个句子：
所有人的头发都是黑色的。
显然这是一个全称量词的句子，我们用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(x)$ 表示 $x$ 长有黑头发，则原句可以表示为：
\begin{equation}
(\forall x)(P(x) \to Q(x)) ~.
\end{equation}
例 3 存在量词的例子
符号化：有的人登上过月球。
这里 “有的” 就是一个存在量词的例子。我们仍用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(x)$ 表示 $x$ 上过月球，则原句可以表示为：
\begin{equation}
(\exists x)(P(x) \land Q(x)) ~.
\end{equation}
仍用 $P(x)$ 表示 $x$ 是人、$Q(y)$ 表示 $y$ 是杂草、$L(x, y)$ 表示 $x$ 喜欢 $y$，则原句可以表示为：
\begin{equation}
\forall x(P(x) \to \forall y(Q(y) \to \neg L(x, y))) ~,
\end{equation}
或
\begin{equation}
\forall x \forall y (P(x) \land Q(y) \to \neg L(x, y)) ~.
\end{equation}
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