量词公式的基本等价关系
贡献者： int256
定理 1 改名规则
\begin{equation}
(\forall x) F(x) \Leftrightarrow (\forall y) F(y) ~.
\end{equation}
\begin{equation}
(\exists x) F(x) \Leftrightarrow (\exists y) F(y) ~.
\end{equation}
定理 2 量词转换
\begin{equation}
\neg (\forall x A(x)) \Leftrightarrow \exists x (\neg A(x)) ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\neg (\exists x A(x)) \Leftrightarrow \forall x (\neg A(x)) ~.
\end{equation}
定理 3 量词公式的分配律
\begin{equation}
\forall x A(x) \land \forall x B(x) \Leftrightarrow \forall x(A(x) \land B(x) )~.
\end{equation}
\begin{equation}
\exists x A(x) \lor \exists x B(x) \leftrightarrow \exists x(A(x) \lor B(x)) ~.
\end{equation}
定理 4 辖域的扩展或收紧
设 $B$ 不含变元 $x$，或与变元 $x$ 无关，则
\begin{equation}
\begin{aligned}
\forall x (A(x) \lor B) &\Leftrightarrow (\forall x A(x)) \lor B, \\
\forall x (A(x) \land B) &\Leftrightarrow (\forall x A(x)) \land B ~.
\end{aligned}
\end{equation}
且
\begin{equation}
\begin{aligned}
\exists x (A(x) \lor B) &\Leftrightarrow (\exists x A(x)) \lor B, \\
\exists x (A(x) \land B) &\Leftrightarrow (\exists x A(x)) \land B ~.
\end{aligned}
\end{equation}
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