公式的基本等价关系（数理逻辑）
贡献者： int256
定理 1 公式的基本等价关系
令 $A, B, C$ 都是任意的合式公式，则有以下的关系成立：
- 幂等律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \land A &\Leftrightarrow A,\\
A \lor A &\Leftrightarrow A~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 交换律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \land B &\Leftrightarrow B \land A,\\
A \lor B &\Leftrightarrow B \lor A ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 结合律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \land (B \land C) &\Leftrightarrow (A \land B) \land C, \\
A \lor (B \lor C) &\Leftrightarrow (A \lor B) \lor C ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 同一律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \land 1 &\Leftrightarrow A, \\
A \lor 0 &\Leftrightarrow A ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- “分配律”：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \lor (B \land C) &\Leftrightarrow (A \lor B) \land (A \lor C) ,\\
A \land (B \lor C) &\Leftrightarrow (A \land B) \lor (A \land C) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 逆否（假言易位）：
\begin{equation}
(A \to B) \Leftrightarrow ((\neg B) \to (\neg A)) ~.
\end{equation}
- 吸收率：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \lor (A \land B) &\Leftrightarrow A, \\
A \land (A \lor B) &\Leftrightarrow A ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 矛盾率与排中律：
\begin{equation}
\begin{aligned}
A \land (\neg A) &\Leftrightarrow 0, \\
A \lor (\neg A) &\Leftrightarrow 1~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 双重否定：
\begin{equation}
\neg (\neg A) \Leftrightarrow A ~.
\end{equation}
- 德摩根定率（De Morgan's laws）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\neg(A \lor B) &\Leftrightarrow (\neg A) \land (\neg B) , \\
\neg(A \land B) &\Leftrightarrow (\neg A) \lor (\neg B) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
- 蕴含：
\begin{equation}
A \to B \Leftrightarrow (\neg A) \lor B~.
\end{equation}
- 等价：
\begin{equation}
(A \leftrightarrow B) \Leftrightarrow ((A \to B) \land (B \to A)) ~.
\end{equation}
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