pi 介子衰变
贡献者： 周思益
1. $\pi$ 介子衰变
这一节我们来讨论 $\pi$ 介子衰变。我们首先讨论带电 $\pi$ 的衰变
\begin{equation}
\pi^- \rightarrow l^- + \bar \nu_l~.
\end{equation}
其中 $l$ 是 $\mu$ 子或电子。
我们不知道 $W$ 粒子是如何耦合到 $\pi$ 介子的。但是我们知道 $W$ 粒子是如何耦合到轻子的，这个过程的散射振幅可以写为
\begin{equation}
\mathcal M = \frac{g_w^2}{8(M_W c)^2} [\bar u (3) \gamma_\mu (1-\gamma^5)v(2)] F^\mu~.
\end{equation}
其中 $F^\mu$ 是描写 $\pi$ 到 $W$ 的形状因子。它是某个标量乘上 $p^\mu$.
\begin{equation}
F^\mu = f_\pi p^\mu~.
\end{equation}
$f_\pi$ 被称为 $\pi$ 衰变常数。
对出射自旋求和，我们可以得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
\langle |\mathcal M|^2 \rangle &= \bigg[ \frac{f_\pi}{8} \bigg( \frac{g_w}{M_W c} \bigg)^2 \bigg]^2 p_\mu p_\nu {\rm Tr} [\gamma^\mu (1-\gamma^5) p\!\!\!/_2\gamma^\nu (1-\gamma^5) (p\!\!\!/_3 + m_l c) ]
\\
& = \frac{1}{8} \bigg[ f_\pi \bigg( \frac{g_w}{M_W c} \bigg)^2 \bigg]^2 [2(p\cdot p_2)(p\cdot p_3) - p^2 (p_2\cdot p_3) (p\cdot p_3) - p^2 (p_2 \cdot p_3) ] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
化简得
\begin{equation}
\langle |\mathcal M|^2 \rangle = \bigg( \frac{g_w}{2 M_W} \bigg)^4 f_\pi^2 m_l^2 (m_\pi^2 - m_l^2) ~.
\end{equation}
由散射振幅的模平方可以计算衰变率
\begin{equation}
\Gamma = \frac{|\mathbf p_2|}{8\pi \hbar m_\pi^2 c} \langle | \mathcal M | \rangle ~.
\end{equation}
经计算
\begin{equation}
\Gamma = \frac{f_\pi^2}{\pi \hbar m_\pi^3} \bigg( \frac{g_w}{4 M_W} \bigg)^4 m_l^2 (m_\pi^2 - m_l^2)^2 ~.
\end{equation}
电子和 $\mu$ 子衰变率的比值
\begin{equation}
\frac{\Gamma(\pi^- \rightarrow e^- +\bar \nu_e)}{\Gamma(\pi^- \rightarrow \mu^- +\bar \nu_\mu)} = \frac{m_e^2(m_\pi^2-m_e^2)^2}{m_\mu^2(m_\pi^2-m_\mu^2)^2} = 1.283 \times 10^{-4}~.
\end{equation}
$\pi$ 喜欢 $\mu$ 子道。
这个结果非常令人吃惊，因为电子要比 $\mu$ 子轻很多。相空间喜好衰变到那些质量降低越大越好的道，除非某种守恒定律介入。一般来说，最轻的末态是最常见的，但是 $\pi$ 衰变是著名的例外。
式 7 如果电子是无质量的，$\pi^- \rightarrow e^-+ \bar \nu_e$ 将完全被禁戒。因为 $\pi$ 自旋为 0，因此电子和反中微子必须以相反的自旋出现，因此具有相同的螺旋度。
反中微子总是右手，因此电子也必须是右手。但如果电子是无质量的，它应只作为左手粒子存在。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。