pi 介子衰变

贡献者：周思益

预备知识　狄拉克场

1. $π$ 介子衰变

　　这一节我们来讨论 $π$ 介子衰变。我们首先讨论带电 $π$ 的衰变

\begin{matrix} (1) & π^{-} \to l^{-} + {\bar{ν}}_{l} . \end{matrix}

其中

l

是

μ

子或电子。

　　我们不知道 $W$ 粒子是如何耦合到 $π$ 介子的。但是我们知道 $W$ 粒子是如何耦合到轻子的，这个过程的散射振幅可以写为

\begin{matrix} (2) & M = \frac{g_{w}^{2}}{8 (M_{W} c)^{2}} [\bar{u} (3) γ_{μ} (1 - γ^{5}) v (2)] F^{μ} . \end{matrix}

　　其中 $F^{μ}$ 是描写 $π$ 到 $W$ 的形状因子。它是某个标量乘上 $p^{μ}$ .

\begin{matrix} (3) & F^{μ} = f_{π} p^{μ} . \end{matrix}

　　 $f_{π}$ 被称为 $π$ 衰变常数。

　　对出射自旋求和，我们可以得到

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ⟨ | M |^{2} ⟩ & = [\frac{f_{π}}{8} (\frac{g_{w}}{M_{W} c})^{2}]^{2} p_{μ} p_{ν} T r [γ^{μ} (1 - γ^{5}) p /_{2} γ^{ν} (1 - γ^{5}) (p /_{3} + m_{l} c)] \\ = \frac{1}{8} [f_{π} (\frac{g_{w}}{M_{W} c})^{2}]^{2} [2 (p \cdot p_{2}) (p \cdot p_{3}) - p^{2} (p_{2} \cdot p_{3}) (p \cdot p_{3}) - p^{2} (p_{2} \cdot p_{3})] . \end{aligned} \end{matrix}

　　化简得

\begin{matrix} (5) & ⟨ | M |^{2} ⟩ = (\frac{g_{w}}{2 M_{W}})^{4} f_{π}^{2} m_{l}^{2} (m_{π}^{2} - m_{l}^{2}) . \end{matrix}

　　由散射振幅的模平方可以计算衰变率

\begin{matrix} (6) & Γ = \frac{| p_{2} |}{8 π ℏ m_{π}^{2} c} ⟨ | M | ⟩ . \end{matrix}

　　经计算

\begin{matrix} (7) & Γ = \frac{f_{π}^{2}}{π ℏ m_{π}^{3}} (\frac{g_{w}}{4 M_{W}})^{4} m_{l}^{2} (m_{π}^{2} - m_{l}^{2})^{2} . \end{matrix}

　　电子和 $μ$ 子衰变率的比值

\begin{matrix} (8) & \frac{Γ (π^{-} \to e^{-} + {\bar{ν}}_{e})}{Γ (π^{-} \to μ^{-} + {\bar{ν}}_{μ})} = \frac{m_{e}^{2} (m_{π}^{2} - m_{e}^{2})^{2}}{m_{μ}^{2} (m_{π}^{2} - m_{μ}^{2})^{2}} = 1.283 \times 10^{- 4} . \end{matrix}

　　 $π$ 喜欢 $μ$ 子道。

　　这个结果非常令人吃惊，因为电子要比 $μ$ 子轻很多。相空间喜好衰变到那些质量降低越大越好的道，除非某种守恒定律介入。一般来说，最轻的末态是最常见的，但是 $π$ 衰变是著名的例外。

　　式 7 如果电子是无质量的， $π^{-} \to e^{-} + {\bar{ν}}_{e}$ 将完全被禁戒。因为 $π$ 自旋为 0，因此电子和反中微子必须以相反的自旋出现，因此具有相同的螺旋度。

　　反中微子总是右手，因此电子也必须是右手。但如果电子是无质量的，它应只作为左手粒子存在。

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1. π 介子衰变

1. $π$ 介子衰变