标量扰动

             

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   把爱因斯坦方程进行扰动,我们可以得到

\begin{equation} \delta G^\mu_\nu = 8 \pi G\delta T^\mu_\nu ~. \end{equation}
我们主要关心标量的扰动,可以得到
\begin{equation} \begin{aligned} \delta G^0_0 & = 2 a^{-2} [\nabla^2 \Phi- 3 \mathcal H(\Phi' - \mathcal H \Psi)] ~, \\ \delta G^i_0 & = - 2 a^{-2} \partial^i(\Phi' - \mathcal H \Psi)~, \\ \delta G^i_j &= 2 a^{-2} \bigg[ (\mathcal H^2 + 2 \mathcal H')\Psi +\mathcal H \Psi' - \Phi'' - 2 \mathcal H \Phi' + \frac{1}{3} \nabla^2 (\Phi+\Psi) \bigg] \delta^i_j \\ & - a^{-2} \bigg( \partial^i\partial_j - \frac{1}{3} \delta^i_j \nabla^2 \bigg) (\Phi+\Psi) ~. \end{aligned} \end{equation}
对能量动量张量同样进行扰动,我们有
\begin{equation} \begin{aligned} \delta T^0_0 & = - \delta \rho~, \\ \delta T^i_0 & = - (\bar \rho +\bar p) \partial^i v~, \\ \delta T^i_j & = \delta p \delta^i_j + \bigg( \partial^i\partial_j - \frac{1}{3} \nabla^2 \bigg) \sigma ~, \end{aligned} \end{equation}
使用上述方程,式 1 的 00 分量的方程可以写成
\begin{equation} \nabla^2 \Phi - 3 \mathcal H (\Phi' - \mathcal H\Psi) = - 4 \pi G a^2 \delta \rho~. \end{equation}
上述方程可以视作平坦空间的泊松方程在弯曲空间中的推广.定义物理距离 $\mathbf r = a \mathbf x$ 和物理时间 $t$,我们可以把上面方程右边的 $a^2$ 吸收掉.最终我们可以得到如下方程
\begin{equation} \nabla^2_{\mathbf r} \Phi - 3 H (\dot\Phi - H \Psi) = - 4 \pi G \delta \rho \end{equation}
现在我们来看 $(i,0)$ 方程
\begin{equation} \Phi' - \mathcal H \Psi = 4 \pi G a^2 (\bar \rho + \bar p) v ~. \end{equation}
综合式 4 式 6 我们可得
\begin{equation} \nabla^2\phi = - 4 \pi G a^2 [\delta \rho - 3 \mathcal H(\bar\rho+ \bar p) v]~. \end{equation}
等式的右边实际上是规范不变的密度扰动 $(\delta\rho)_*$.我们可以把上式写成
\begin{equation} \nabla^2\Phi = - 4 \pi G a^2 \bar \rho \delta_* ~, \end{equation}
其中 $\delta_* = (\delta \rho)_*/\bar \rho$ 是 Gauge-invariant density contrast.

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