标量扰动

贡献者： zhousiyi

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　　把爱因斯坦方程进行扰动，我们可以得到

\begin{matrix} (1) & δ G_{ν}^{μ} = 8 π G δ T_{ν}^{μ} . \end{matrix}

我们主要关心标量的扰动，可以得到

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} δ G_{0}^{0} & = 2 a^{- 2} [\nabla^{2} Φ - 3 H (Φ^{'} - H Ψ)], \\ δ G_{0}^{i} & = - 2 a^{- 2} \partial^{i} (Φ^{'} - H Ψ), \\ δ G_{j}^{i} & = 2 a^{- 2} [(H^{2} + 2 H^{'}) Ψ + H Ψ^{'} - Φ^{″} - 2 H Φ^{'} + \frac{1}{3} \nabla^{2} (Φ + Ψ)] δ_{j}^{i} \\ - a^{- 2} (\partial^{i} \partial_{j} - \frac{1}{3} δ_{j}^{i} \nabla^{2}) (Φ + Ψ) . \end{aligned} \end{matrix}

对能量动量张量同样进行扰动，我们有

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} δ T_{0}^{0} & = - δ ρ, \\ δ T_{0}^{i} & = - (\bar{ρ} + \bar{p}) \partial^{i} v, \\ δ T_{j}^{i} & = δ p δ_{j}^{i} + (\partial^{i} \partial_{j} - \frac{1}{3} \nabla^{2}) σ, \end{aligned} \end{matrix}

使用上述方程，式 1 的 00 分量的方程可以写成

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} Φ - 3 H (Φ^{'} - H Ψ) = - 4 π G a^{2} δ ρ . \end{matrix}

上述方程可以视作平坦空间的泊松方程在弯曲空间中的推广。定义物理距离

r = a x

和物理时间

t

,我们可以把上面方程右边的

a^{2}

吸收掉。最终我们可以得到如下方程

\begin{matrix} (5) & \nabla_{r}^{2} Φ - 3 H (\dot{Φ} - H Ψ) = - 4 π G δ ρ . \end{matrix}

现在我们来看

(i, 0)

方程

\begin{matrix} (6) & Φ^{'} - H Ψ = 4 π G a^{2} (\bar{ρ} + \bar{p}) v . \end{matrix}

综合式 4 和式 6 我们可得

\begin{matrix} (7) & \nabla^{2} ϕ = - 4 π G a^{2} [δ ρ - 3 H (\bar{ρ} + \bar{p}) v] . \end{matrix}

等式的右边实际上是规范不变的密度扰动

(δ ρ)_{*}

.我们可以把上式写成

\begin{matrix} (8) & \nabla^{2} Φ = - 4 π G a^{2} \bar{ρ} δ_{*}, \end{matrix}

其中

δ_{*} = (δ ρ)_{*} / \bar{ρ}

是 Gauge-invariant density contrast。

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