贡献者： 叶月2_
1. 绘景选择
为了简便地解决问题，我们可以根据力学量算符 $F$ 和态矢 $ \left\lvert s \right\rangle $ 的含时关系，选择不同的绘景：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{薛定谔绘景}\frac{\partial \left\lvert s \right\rangle }{\partial t}\neq 0~, \quad \frac{\partial F}{\partial t}&= 0~.\\
\text{海森堡绘景}\frac{\partial \left\lvert s \right\rangle }{\partial t}= 0~, \quad \frac{\partial F}{\partial t}&\neq 0~.\\
\text{相互作用绘景}\frac{\partial \left\lvert s \right\rangle }{\partial t}\neq 0~, \quad \frac{\partial F}{\partial t}&\neq 0~.
\end{aligned}
\end{equation}
我们需要注意到两点基本事实，第一：绘景只是系统演化的不同图景，因而态矢及力学量的初始值必定是相同的。第二：如同表象变换，观测值也不随绘景的选择而改变。第三：由于时间演化算符并非力学量算符，所以在不同绘景里的变换关系需要额外推导。
2. 绘景变换
设薛定谔绘景里的时间演化算符为 $U_s$，那么某时刻的力学量期待值为 $ \left\langle s \right\rvert U^\dagger_sF U_s \left\lvert s \right\rangle $。由于在海森堡绘景里，态矢不变，则 $ \left\lvert s,t \right\rangle _H= \left\lvert s \right\rangle =U^\dagger_s \left\lvert s,t \right\rangle _s$，因此，任意时刻的海森堡力学量算符为 $F_H=U^\dagger_sF U_s$。
相互作用绘景，顾名思义，哈密顿量 $H^I$ 包含自由哈密顿量 $H^I_0$ 和相互作用哈密顿量 $H^I_\mathrm{i}$，含时微扰可以在该绘景下处理。（不含时的也可以，哈密顿量的含时性并非一个硬性条件，从海森堡绘景和薛定谔绘景的关系也可以看出。）
相互作用绘景与薛定谔绘景的关系，其实就是自由理论下海森堡绘景与薛定谔绘景的关系。即（以零时刻为时间起点）
\begin{equation}
\left\lvert s,t \right\rangle _I=\mathrm{e} ^{\mathrm{i}H_0t} \left\lvert s,t \right\rangle _s~,\qquad
F_I=\mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0t}F_s \mathrm{e}^{\mathrm{i}H_0t}~
\end{equation}
从该绘景变换我们也可以发现，两个绘景的自由哈密顿量一致，但总哈密顿量却是不同的。
通过绘景变换，我们还可以得到海森堡绘景和相互作用绘景的力学量算符关系：
\begin{equation}
F^{\mathrm{I}}(t)=U_I\left(t, t_{0}\right) F^{\mathrm{H}}(t) U_I^{\dagger}\left(t, t_{0}\right)~.
\end{equation}
3. 时间演化
时间演化虽称之为算符，却不是我们一般处理的厄米算符，因此其含时关系与厄米算符不同。根据态矢的演化，我们也能得到时间演化算符的动力学关系：
\begin{equation}
\mathrm{i}\partial_tU_s=H^s U_s~, \qquad
\mathrm{i}\partial_tU_I=H^I_\mathrm{i} U_I~.
\end{equation}
在薛定谔绘景里，总哈密顿量驱动了时间演化算符，而在相互作用绘景里，则是相互作用哈密顿量驱动了该算符。
由于在薛定谔绘景里，哈密顿量不含时（我们往往如此设定），那么我们可以轻松得到时间演化算符的形式解 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H}$。但在相互作用绘景里，哈密顿量显含时间，在更一般的情况下，不同时间的哈密顿量是不对易的，因此指数上的因子不能简单地写成单一的哈密顿量积分形式。对戴森级数的简化可以给出一个简洁的形式解。
在场论里，相互作用绘景与海森堡绘景会联系到一起。因此我们需要得到两个绘景下时间演化算符的关系。
\begin{equation}
\left\lvert s,t \right\rangle _I=\mathrm{e} ^{\mathrm{i}H_0t} \left\lvert s,t \right\rangle _s=\mathrm{e} ^{\mathrm{i}H_0t}U_s \left\lvert s \right\rangle =U_I(t) \left\lvert s \right\rangle ~.
\end{equation}
不失一般性，把时间演化算符定义为：
\begin{equation}
U_I(t,t_0)\equiv\mathrm{e} ^{\mathrm{i}H_0(t-t_0)}U_s(t,t_0)~.
\end{equation}
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