机械波（高中）

贡献者：叶月2_

1. 机械波

　　机械波是机械振动在空间中传播的现象。称振动的源头为波源，称承载振动的物质为介质¹。从微观上看，只要有波源在作振动，且质点之间有弹性恢复力，那么必然引起传播方向上，下一个相邻质点作振动。每一个质点，都可以看作接下来的，机械振动的波源，如果没有其他能量损耗，机械波的传播是没有止境的。其传播路径上的每个质点都可视为弹簧振子，在受到上一个质点的扰动后，才开始在平衡位置附近作振动。

　　从上述过程来看，机械波对振动能量的传播不言而喻。实际上，机械波还是振动状态（相位）的传播。假设振动在传播过程中没有损耗，如果 A 点为较近点，B 点是较远点，且振动从 A 传播到 B 需要时间 $t$，那么 B 在某时刻 $t_0$ 的相位总是 B 在 $t_0-t$ 的相位。所以不同质点的振动图像都有共同属性如周期，振幅，有所不同的只是相位。

简谐波的描述与图像

　　如果我们把机械波简化成一连串质点的运动，且设波源作简谐振动，介质是理想介质（即波速稳定），那么在任意时刻，给这一串质点 “拍照”，它们的位置构成简谐函数的波形。比如设波源的振动形式为 $y= \sin\left(\omega t\right) $，波速为 $v$，那么距波源 $x$ 的质点位移为

\begin{equation} y=\sin [\omega (t-\frac{x}{v})]~. \end{equation}

显然如果在某时刻拍照，固定 $t$ 后的质点位移 $y$ 是关于 $x$ 的简谐函数，且周期与振动周期相同，常用 $T$ 表示。

　　我们称波在一个周期传播的距离为波长，常用 $\lambda $ 表示，满足 $\lambda=vT$。波源的振动决定周期，或者说频率，所以无论机械波经过何种介质，其周期都是不变的。然而，介质的物理性质决定了波速，所以改变介质就会改变波速和波长。对应山峰和山谷，我们称波的位移最大值为波峰，最小值为波谷。对于简谐波，波峰和波谷的相位差总是 $\pi$。

2. 波的叠加

　　既然机械波实际上代表了振动在质点之间的传播，那么不同机械波在同一点处的位移之和自然是该处质点的实际位移。如果不同简谐波都满足以下条件：

频率相同
相位差恒定
有沿着同一方向的振动分量

　　此时，我们就称波的叠加为波的干涉。其特点是，两列波在任意一处的相位差恒定，任意一处的振子都在做简谐振动且振幅稳定。下面我们来证明这一点。

　　假设空间中有两个波源 A 和 B，调节零时刻使得振动方程分别为

\begin{equation} \begin{aligned} y_A&=A \sin\left(\omega t\right) \\ y_B&=B \sin\left(\omega t+\phi\right) ~, \end{aligned} \end{equation}

设从 A,B 到任意 P 点的时间分别为 $t_1,t_2$，则在 P 点的合振动为

\begin{equation} y=y_A+y_B=A \sin\left(\omega t-\omega t_1\right) +B \sin\left(\omega t-\omega t_2+\phi\right) ~. \end{equation}

　　显然，相位差是恒定的。

　　将两个波的振动比拟为匀速圆周运动后，我们可以简便地进行叠加，由于振动是圆周运动矢量在确定轴的投影，因此两个振动的投影之和就是两个矢量和的投影。则合振幅的大小显著依赖于两个矢量的夹角，即相位差。由余弦定理可得，合振动的振幅为

\begin{equation} \begin{aligned} A=|A|+|B|=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos[\omega(t_1-t_2)+\phi]}~, \end{aligned} \end{equation}

由矢量叠加可知，合振动亦是简谐振动，且振幅稳定不变，相对大小取决于相位差。也由此可见，若相位差 $\omega(t_1-t_2)+\phi=\pi$，即两个波在 P 处相差半个波长，则合振幅最小。若相差整数倍波长，则合振幅最大。

1. ^ 真空实际并非空无一物，而是能量最低的一个状态。实际上，从量子物理的观点来看，无论真空能是否为 0（我们可以灵活地调整能量零点），真空总是会在极短时间内产生和湮灭粒子-反粒子对。这种涨落会被时间 “抹平”，所以在相当长一段时间内观察，能量平均值还是基态。但极短时间的这种量子涨落亦能传播振动，且已经为实验所证实——真空传声

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