狄拉克 delta 导函数

贡献者： addis

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预备知识　狄拉克 delta 函数

　　定义（函数列）：对任意在 $x = 0$ 处可导的 $f (x)$ 都有

\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ_{n}^{'} (x) f (x) d x = - f^{'} (0) . \end{matrix}

　　等效定义：

\begin{matrix} (2) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} x δ_{n}^{'} (x) d x = - 1 . \end{matrix}

且在不包含

x = 0

的任意区间

(a, b)

，有

\begin{matrix} (3) & lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} x δ_{n}^{'} (x) d x = 0 . \end{matrix}

若用分部积分，可以证明

δ_{n} (x)

就是狄拉克

δ

函数。

1. 构造

　　分部积分：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ_{n}^{'} (x) f (x) d x \\ = lim_{n \to \infty} {δ_{n} (x) f (x) |}_{- \infty}^{\infty} - lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ_{n} (x) f^{'} (x) d x \\ = - f^{'} (0) . \end{aligned} \end{matrix}

所以狄拉克 delta 导函数就是任意 delta 函数列的负导数。

2. 性质

　　可以拓展到

\begin{matrix} (5) & lim_{n \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} δ_{n}^{'} (x - x_{0}) f (x) d x = - f^{'} (x_{0}) . \end{matrix}

　　性质： $δ^{'} (- x) = - δ^{'} (x)$ （但每个具体的 $δ_{n}^{'}$ 未必是奇函数）

例 1　

\begin{matrix} (6) & δ_{n} (x) = \frac{n}{π} sinc (n x) (n = 1, 2, \dots), \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & δ_{n}^{'} (x) = \frac{n}{π x} [\cos (n x) - sinc (n x)] . \end{matrix}

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