狄拉克 delta 导函数

                     

贡献者: addis

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预备知识 狄拉克 delta 函数

   定义(函数列):对任意在 x=0 处可导的 f(x) 都有

(1)limnδn(x)f(x)dx=f(0) .

   等效定义:

(2)limnxδn(x)dx=1 .
且在不包含 x=0 的任意区间 (a,b),有
(3)limnabxδn(x)dx=0 .
若用分部积分,可以证明 δn(x) 就是狄拉克 δ 函数。

1. 构造

   分部积分:

(4)limnδn(x)f(x)dx=limnδn(x)f(x)|limnδn(x)f(x)dx=f(0) .
所以狄拉克 delta 导函数就是任意 delta 函数列的负导数。

2. 性质

   可以拓展到

(5)limnδn(xx0)f(x)dx=f(x0) .

   性质:δ(x)=δ(x)(但每个具体的 δn 未必是奇函数)

例 1 

   例 1

(6)δn(x)=nπsinc(nx)(n=1,2,) ,
(7)δn(x)=nπx[cos(nx)sinc(nx)] .


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