狄拉克 delta 导函数

                     

贡献者: addis

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预备知识 狄拉克 delta 函数

   分部积分:

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta'_n(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= \lim_{n\to\infty} \left. \delta_n(x) f(x) \right\rvert _{-\infty}^\infty - \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty \delta_n(x) f'(x) \,\mathrm{d}{x} \\ &= - f'(0) \end{aligned} \end{equation}
所以狄拉克 delta 导函数就是任意 delta 函数列的负导数.

   可以拓展到

\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty -\delta'_n(x-x_0) f(x) \,\mathrm{d}{x} = f'(x_0) \end{equation}

   性质:$\delta'(-x) = -\delta'(x)$(但每个具体的 $\delta'_n$ 未必是奇函数)

例 1 

   例 1

\begin{equation} \delta_n(x) = \frac{n}{\pi} \operatorname{sinc} (n x) \qquad (n = 1, 2, \dots) \end{equation}
\begin{equation} -\delta'_n(x) = \frac{n}{\pi x} [ \operatorname{sinc} (nx) - \cos\left(nx\right) ] \end{equation}


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