内禀反常霍尔效应

                     

贡献者： fengdalizzz; addis

　　 一般霍尔效应的产生需要磁场，并且满带不出现霍尔效应。但是反常霍尔效应不需要这些条件。反常霍尔效应的产生目前还没有定论，只有几种理论解释，我们现在来介绍最基础的，也是最早的内禀反常霍尔效应。

1. 介绍

　　 我们知道一个布洛赫态可以写成：

其哈密顿量为：$\hat H_0=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，对应的能量是 $E_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$。其中 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是一个周期函数，有 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} )=V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是任意一个格矢。

2. 深入

　　 外力作用下哈密顿量变成 $\hat H =\hat H_0 - \boldsymbol{\mathbf{F}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $，则 $ \,\mathrm{d}{t} $ 时间后，布洛赫态变成：

在推导电子运动的准经典模型时，我们忽略了 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 到 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}}$ 之间的变化（包络近似），从而得出了 $d \boldsymbol{\mathbf{k}} =\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} \,\mathrm{d}{t} }{\hbar}$ 的结论。现在我们不忽略它的变化，从而推导出反常霍尔效应来。

　　 有：

其中 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 表示函数 $u$ 在 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 空间的梯度。最后一条等式的前一项即为经典理论的结果，后一项的导出只保留了 $ \,\mathrm{d}{t} $ 的一阶小量。

3. $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 的形式

　　 现在我们来研究一下 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$。由上可知，有：

所以有： 即 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } = \mathrm{e} ^{-i \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} } \hat H_0 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }$ 的本征函数是 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$。代入 $\hat H_0 =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，对于任意一个函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，即有： 即 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的具体形式为 当 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 变化 $\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 时，即有： 等式右边第 1、2 项即为原先的 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$, 第 3、4 项可以视为微扰。其中第 3 项是能量微扰项，不作用在波函数上，第四项为 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 微扰项，与动量相关（此处还说明了晶格动量 $\hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 与电子动量 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $ 不是同一个东西）。

　　 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的本征态是不同 $n$ 的 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$，不同的 $n$ 之间的能级差较大，所以可以用非简并微扰来求解 $\hat H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的本征态，即：

因为 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} +\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} }=u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }+\delta \boldsymbol{\mathbf{k}} \cdot \nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$，所以我们就终于得出了 $\nabla_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} } u$ 的具体形式，即：

4. 不含包络近似的解

　　 将式 10 代回到最开始的式 3 ，即有：

因为 $\frac{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }{m} \,\mathrm{d}{t} $ 是小量，我们再做一个类似于式 3 最后化简时的把戏，将式 11 改写成： 由此可见，不使用包络近似下，外力作用会将不同的能带耦合起来，这将使布洛赫电子的运动有别于经典的运动。 当外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 很小时，$\psi$ 具有稳态解：

　　 现在我们可以来算速度了，根据隔壁量子力学的基础知识，有：

继续忽略外力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的高阶项，则： 对于 $ \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle (l\neq n)$，则将其展开，由于 $u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 的正交性，有： 不妨记 $ \left\langle u_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert u_{l, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $ 为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} _{nl, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$.
而对于 $ \left\langle \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rvert \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \left\lvert \psi_{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} } \right\rangle $,注意到： 并且： 将式 18 和式 16 代回到式 15 里，就有了一个简单的结果： 其中的 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _{n, \boldsymbol{\mathbf{k}} }$ 称为 Berry 曲率。

5. 性质与讨论

　　 聪明的小伙伴一眼就能看出来了，等式右边第一项正是准经典模型中的电子的群速度，但后一项显然与外力的方向垂直。比如在均匀电场下，有：

电子的速度不再与电场平行。运动时，偏转的电子形成横向的电场来中和这一多出来的项，这就是反常霍尔效应，我们可以在介质表面测量出来这一横向电场对应的电压。

　　 可以看出反常霍尔效应的产生依赖于 Berry 曲率不为零，而通过一些简单的计算就可以得出，如果晶体的晶胞（或者布里渊区）具有空间反演对称性（也就是 “中心对称”），或者时间反演对称性（也就是 “镜像对称”），则 Berry 曲率必定为零。而时间反演对称性的缺失通常意味着磁性，这就对应了最早发现的具有反常霍尔效应的材料是铁磁性材料。

　　 这一理论的中心是外力作用下的不同能带的波函数耦合，它只考虑完美的晶体内部的能带结构，不需要考虑其他因素，故称为 “内禀反常霍尔效应”。有学者考虑了带有缺陷、杂质的晶体中的的反常霍尔效应，提出了外禀的霍尔效应——斜交散射机制（SkewScattering,SS）,以及侧越机制（Quantum side jump, SJ）。但关于反常霍尔效应的产生依旧没有定论。