内禀反常霍尔效应
贡献者: fengdalizzz; addis
一般霍尔效应的产生需要磁场,并且满带不出现霍尔效应。但是反常霍尔效应不需要这些条件。反常霍尔效应的产生目前还没有定论,只有几种理论解释,我们现在来介绍最基础的,也是最早的内禀反常霍尔效应。
1. 介绍
我们知道一个布洛赫态可以写成:
其哈密顿量为:,对应的能量是 。其中 是一个周期函数,有 , 是任意一个格矢。
2. 深入
外力作用下哈密顿量变成 ,则 时间后,布洛赫态变成:
在推导电子运动的准经典模型时,我们忽略了 到 之间的变化(包络近似),从而得出了 的结论。现在我们不忽略它的变化,从而推导出反常霍尔效应来。
有:
其中 表示函数 在 空间的梯度。最后一条等式的前一项即为经典理论的结果,后一项的导出只保留了 的一阶小量。
3. 的形式
现在我们来研究一下 。由上可知,有:
所以有:
即 的本征函数是 。代入 ,对于任意一个函数 ,即有:
即 的具体形式为
当 变化 时,即有:
等式右边第 1、2 项即为原先的 , 第 3、4 项可以视为微扰。其中第 3 项是能量微扰项,不作用在波函数上,第四项为 微扰项,与动量相关(此处还说明了晶格动量 与电子动量 不是同一个东西)。
的本征态是不同 的 ,不同的 之间的能级差较大,所以可以用非简并微扰来求解 的本征态,即:
因为 ,所以我们就终于得出了 的具体形式,即:
4. 不含包络近似的解
将式 10 代回到最开始的式 3 ,即有:
因为 是小量,我们再做一个类似于
式 3 最后化简时的把戏,将
式 11 改写成:
由此可见,不使用包络近似下,外力作用会将不同的能带耦合起来,这将使布洛赫电子的运动有别于经典的运动。
当外力 很小时, 具有稳态解:
现在我们可以来算速度了,根据隔壁量子力学的基础知识,有:
继续忽略外力 的高阶项,则:
对于 ,则将其展开,由于 的正交性,有:
不妨记 为 . 而对于 ,注意到:
并且:
将
式 18 和
式 16 代回到
式 15 里,就有了一个简单的结果:
其中的 称为 Berry 曲率。
5. 性质与讨论
聪明的小伙伴一眼就能看出来了,等式右边第一项正是准经典模型中的电子的群速度,但后一项显然与外力的方向垂直。比如在均匀电场下,有:
电子的速度不再与电场平行。运动时,偏转的电子形成横向的电场来中和这一多出来的项,这就是反常霍尔效应,我们可以在介质表面测量出来这一横向电场对应的电压。
可以看出反常霍尔效应的产生依赖于 Berry 曲率不为零,而通过一些简单的计算就可以得出,如果晶体的晶胞(或者布里渊区)具有空间反演对称性(也就是 “中心对称”),或者时间反演对称性(也就是 “镜像对称”),则 Berry 曲率必定为零。而时间反演对称性的缺失通常意味着磁性,这就对应了最早发现的具有反常霍尔效应的材料是铁磁性材料。
这一理论的中心是外力作用下的不同能带的波函数耦合,它只考虑完美的晶体内部的能带结构,不需要考虑其他因素,故称为 “内禀反常霍尔效应”。有学者考虑了带有缺陷、杂质的晶体中的的反常霍尔效应,提出了外禀的霍尔效应——斜交散射机制(SkewScattering,SS),以及侧越机制(Quantum side jump, SJ)。但关于反常霍尔效应的产生依旧没有定论。
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