内禀反常霍尔效应

贡献者： fengdalizzz; addis

预备知识　电子运动的准经典模型

　　一般霍尔效应的产生需要磁场，并且满带不出现霍尔效应。但是反常霍尔效应不需要这些条件。反常霍尔效应的产生目前还没有定论，只有几种理论解释，我们现在来介绍最基础的，也是最早的内禀反常霍尔效应。

1. 介绍

　　我们知道一个布洛赫态可以写成：

\begin{matrix} (1) & ψ_{n, k} = e^{i k \cdot r} u_{n, k}, \end{matrix}

其哈密顿量为：

{\hat{H}}_{0} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (r)

，对应的能量是

E_{n, k}

。其中

V (r)

是一个周期函数，有

V (r + R) = V (r)

，

R

是任意一个格矢。

2. 深入

　　外力作用下哈密顿量变成 $\hat{H} = {\hat{H}}_{0} - F \cdot r$ ，则 $d t$ 时间后，布洛赫态变成：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ψ (r, d t) & = e^{- \frac{i \hat{H} d t}{ℏ}} ψ_{n, k} \approx ψ_{n, k} - \frac{i d t}{ℏ} ({\hat{H}}_{0} - F \cdot r) ψ_{n, k} \\ = (1 - i \frac{E_{n, k} d t}{ℏ} + i \frac{F \cdot r d t}{ℏ}) e^{i k \cdot r} u_{n, k} \approx e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} u_{n, k} . \end{aligned} \end{matrix}

在推导电子运动的准经典模型时，我们忽略了

u_{n, k}

到

u_{n, k + \frac{F d t}{ℏ}}

之间的变化（包络近似），从而得出了

d k = \frac{F d t}{ℏ}

的结论。现在我们不忽略它的变化，从而推导出反常霍尔效应来。

　　有：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ψ (r, d t) & \approx e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} u_{n, k} \\ = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} (u_{n, k} - u_{n, k + \frac{F}{ℏ} d t} + u_{n, k + \frac{F}{ℏ} d t}) \\ = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} u_{n, k + \frac{F}{ℏ} d t} - e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} (u_{n, k + \frac{F}{ℏ} d t} - u_{n, k}) \\ = e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} ψ_{n, k + \frac{F d t}{ℏ}} - e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} e^{i (k + \frac{F d t}{ℏ}) \cdot r} (\nabla_{k} u \cdot \frac{F}{ℏ} d t) \\ \approx e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} ψ_{n, k + \frac{F d t}{ℏ}} - e^{i k \cdot r} \nabla_{k} u \cdot \frac{F}{ℏ} d t, \end{aligned} \end{matrix}

其中

\nabla_{k} u

表示函数

u

在

k

空间的梯度。最后一条等式的前一项即为经典理论的结果，后一项的导出只保留了

d t

的一阶小量。

3. $\nabla_{k} u$ 的形式

　　现在我们来研究一下 $\nabla_{k} u$ 。由上可知，有：

\begin{matrix} (4) & {\hat{H}}_{0} e^{i k \cdot r} u_{n, k} (r) = E_{n, k} e^{i k \cdot r} u_{n, k} (r), \end{matrix}

所以有：

\begin{matrix} (5) & e^{- i k \cdot r} {\hat{H}}_{0} e^{i k \cdot r} u_{n, k} (r) = E_{n, k} u_{n, k} (r), \end{matrix}

即

{\hat{H}}_{k} = e^{- i k \cdot r} {\hat{H}}_{0} e^{i k \cdot r}

的本征函数是

u_{n, k} (r)

。代入

{\hat{H}}_{0} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (r)

，对于任意一个函数

f (r)

，即有：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} {\hat{H}}_{k} f (r) & = e^{- i k \cdot r} (- \frac{h^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (r)) e^{i k \cdot r} f (r) \\ = V (r) f (r) + e^{- i k \cdot r} (- \frac{ℏ^{2}}{2 m}) \nabla (i k e^{i k \cdot r} f (r) + e^{i k \cdot r} \nabla f (r)) \\ = V (r) f (r) + e^{- i k \cdot r} (- \frac{ℏ^{2}}{2 m}) (- k^{2} e^{i k \cdot r} + 2 i k e^{i k \cdot r} \nabla f (r) + e^{i k \cdot r} \nabla^{2} f (r)) \\ = V (r) f (r) - \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- k^{2} + 2 i k \nabla + \nabla^{2}) f (r), \end{aligned} \end{matrix}

即

{\hat{H}}_{k}

的具体形式为

\begin{matrix} (7) & {\hat{H}}_{k} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- i \nabla + k)^{2} + V (r) . \end{matrix}

当

k

变化

δ k

时，即有：

\begin{matrix} (8) & {\hat{H}}_{k + δ k} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} (- i \nabla + k)^{2} + V (r) + \frac{ℏ^{2}}{2 m} ((k + δ k)^{2} - k^{2}) + \frac{ℏ}{m} δ k \cdot (- i ℏ \nabla) . \end{matrix}

等式右边第 1、2 项即为原先的

{\hat{H}}_{k}

, 第 3、4 项可以视为微扰。其中第 3 项是能量微扰项，不作用在波函数上，第四项为

k \cdot p

微扰项，与动量相关（此处还说明了晶格动量

ℏ k

与电子动量

p

不是同一个东西）。

　　 ${\hat{H}}_{k}$ 的本征态是不同 $n$ 的 $u_{n, k}$ ，不同的 $n$ 之间的能级差较大，所以可以用非简并微扰来求解 ${\hat{H}}_{k + δ k}$ 的本征态，即：

\begin{matrix} (9) & u_{n, k + δ k} (r) = u_{n, k} (r) + \frac{ℏ}{m} δ k \cdot \sum_{l \neq n} \frac{⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩}{E_{n, k} - E_{l, k}} u_{l, k} (r) . \end{matrix}

因为

u_{n, k + δ k} = u_{n, k} + δ k \cdot \nabla_{k} u

，所以我们就终于得出了

\nabla_{k} u

的具体形式，即：

\begin{matrix} (10) & \nabla_{k} u = \frac{ℏ}{m} \sum_{l \neq n} \frac{⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩}{E_{n, k} - E_{l, k}} u_{l, k} (r) . \end{matrix}

4. 不含包络近似的解

　　将式 10 代回到最开始的式 3 ，即有：

\begin{matrix} (11) & ψ (r, d t) \approx e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} ψ_{n, k + \frac{F d t}{ℏ}} (r) - \frac{F}{m} d t \cdot \sum_{l \neq n} \frac{⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩}{E_{n, k} - E_{l, k}} ψ_{l, k} (r) . \end{matrix}

因为

\frac{F}{m} d t

是小量，我们再做一个类似于式 3 最后化简时的把戏，将式 11 改写成：

\begin{matrix} (12) & ψ (r, d t) \approx e^{- \frac{i}{ℏ} E_{n, k} d t} ψ_{n, k + \frac{F d t}{ℏ}} (r) - \frac{F}{m} d t \cdot \sum_{l \neq n} \frac{⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩}{E_{n, k} - E_{l, k}} ψ_{l, k + \frac{F d t}{ℏ}} (r) . \end{matrix}

由此可见，不使用包络近似下，外力作用会将不同的能带耦合起来，这将使布洛赫电子的运动有别于经典的运动。当外力

F

很小时，

ψ

具有稳态解：

\begin{matrix} (13) & ψ (r, t = \infty) \approx ψ_{n, k} - i \frac{ℏ}{m} F \cdot \sum_{l \neq n} \frac{⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩}{(E_{n, k} - E_{l, k})^{2}} ψ_{l, k} . \end{matrix}

　　现在我们可以来算速度了，根据隔壁量子力学的基础知识，有：

\begin{matrix} (14) & v = \frac{d ⟨ r ⟩}{d t} = \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{r}] ⟩ = \frac{i}{ℏ} ⟨ [\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (r) - F \cdot r, \hat{r}] ⟩ = ⟨ \hat{P} ⟩ / m . \end{matrix}

继续忽略外力

F

的高阶项，则：

\begin{matrix} (15) & v = ⟨ \hat{P} ⟩ / m = \frac{1}{m} ⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{n, k} ⟩ + \frac{i ℏ}{m^{2}} \sum_{l \neq n} \frac{1}{(E_{l, k} - E_{l, k})^{2}} [(F \cdot ⟨ u_{n, k} | \hat{p} | u_{l, k} ⟩) ⟨ ψ_{l, k} | \hat{p} | ψ_{n, k} ⟩ - (F \cdot ⟨ u_{l, k} | \hat{p} | u_{n, k} ⟩) ⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{l, k} ⟩] . \end{matrix}

对于

⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{l, k} ⟩ (l \neq n)

，则将其展开，由于

u_{n, k}

的正交性，有：

\begin{matrix} (16) & ⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{l, k} ⟩ = \int d V u_{n, k} e^{- i k \cdot r} (- i ℏ \nabla) (e^{i k \cdot r} u_{l, k}) = ⟨ u_{n, k} | \hat{p} | u_{l, k} ⟩ . \end{matrix}

不妨记

⟨ u_{n, k} | \hat{p} | u_{l, k} ⟩

为

p_{n l, k}

. 而对于

⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{n, k} ⟩

,注意到：

\begin{matrix} (17) & ⟨ ψ_{n, k} | \hat{p} | ψ_{n, k} ⟩ = ⟨ u_{n, k} | ℏ k + \hat{p} | u_{n, k} ⟩ = \frac{m}{ℏ} ⟨ u_{n, k} | (\nabla_{k} \hat{H_{k}}) | u_{n, k} ⟩ . \end{matrix}

并且：

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} \hat{H_{k}} | u_{n, k} ⟩ & = ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} (\hat{H_{k}} u_{n, k}) ⟩ - ⟨ u_{n, k} | \hat{H_{k}} | \nabla_{k} u_{n, k} ⟩ \\ = ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} (E_{n, k} u_{n, k}) ⟩ - E_{n, k} ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} u_{n, k} ⟩ \\ = E_{n, k} ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} u_{n, k} ⟩ + ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} E_{n, k} | u_{n, k} ⟩ - E_{n, k} ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} u_{n, k} ⟩ \\ = ⟨ u_{n, k} | \nabla_{k} E_{n, k} | u_{n, k} ⟩ = \nabla_{k} E_{n, k} . \end{aligned} \end{matrix}

将式 18 和式 16 代回到式 15 里，就有了一个简单的结果：

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} v & = \frac{1}{ℏ} \nabla_{k} E_{n, k} + \frac{i ℏ}{m^{2}} \sum_{l \neq n} \frac{1}{(E_{l, k} - E_{l, k})^{2}} ((F \cdot p_{n l, k}) p_{l n, k} - (F \cdot p_{l n, k}) p_{n l, k}) \\ = \frac{1}{ℏ} \nabla_{k} E_{n, k} - \frac{F}{ℏ} \times \frac{ℏ^{2}}{m^{2}} \sum_{l \neq n} i \frac{p_{n l, k} \times p_{l n, k}}{(E_{l, k} - E_{n, k})^{2}} \\ = \frac{1}{ℏ} \nabla_{k} E_{n, k} - \frac{F}{ℏ} \times Ω_{n, k} . \end{aligned} \end{matrix}

其中的

Ω_{n, k}

称为 Berry 曲率。

5. 性质与讨论

　　聪明的小伙伴一眼就能看出来了，等式右边第一项正是准经典模型中的电子的群速度，但后一项显然与外力的方向垂直。比如在均匀电场下，有：

\begin{matrix} (20) & ℏ \frac{d k}{d t} = - e E . \end{matrix}

\begin{matrix} (21) & ℏ \frac{d r}{d t} = \nabla_{k} E_{n, k} + e E \times Ω_{n, k} . \end{matrix}

电子的速度不再与电场平行。运动时，偏转的电子形成横向的电场来中和这一多出来的项，这就是反常霍尔效应，我们可以在介质表面测量出来这一横向电场对应的电压。

　　可以看出反常霍尔效应的产生依赖于 Berry 曲率不为零，而通过一些简单的计算就可以得出，如果晶体的晶胞（或者布里渊区）具有空间反演对称性（也就是 “中心对称”），或者时间反演对称性（也就是 “镜像对称”），则 Berry 曲率必定为零。而时间反演对称性的缺失通常意味着磁性，这就对应了最早发现的具有反常霍尔效应的材料是铁磁性材料。

　　这一理论的中心是外力作用下的不同能带的波函数耦合，它只考虑完美的晶体内部的能带结构，不需要考虑其他因素，故称为 “内禀反常霍尔效应”。有学者考虑了带有缺陷、杂质的晶体中的的反常霍尔效应，提出了外禀的霍尔效应——斜交散射机制（SkewScattering,SS）,以及侧越机制（Quantum side jump, SJ）。但关于反常霍尔效应的产生依旧没有定论。