内禀反常霍尔效应

                     

贡献者: fengdalizzz; addis

预备知识 电子运动的准经典模型

   一般霍尔效应的产生需要磁场,并且满带不出现霍尔效应。但是反常霍尔效应不需要这些条件。反常霍尔效应的产生目前还没有定论,只有几种理论解释,我们现在来介绍最基础的,也是最早的内禀反常霍尔效应。

1. 介绍

   我们知道一个布洛赫态可以写成:

(1)ψn,k=eikrun,k ,
其哈密顿量为:H^0=22m2+V(r),对应的能量是 En,k。其中 V(r) 是一个周期函数,有 V(r+R)=V(r)R 是任意一个格矢。

2. 深入

   外力作用下哈密顿量变成 H^=H^0Fr,则 dt 时间后,布洛赫态变成:

(2)ψ(r,dt)=eiH^dtψn,kψn,kidt(H^0Fr)ψn,k=(1iEn,kdt+iFrdt)eikrun,keiEn,kdtei(k+Fdt)run,k .
在推导电子运动的准经典模型时,我们忽略了 un,kun,k+Fdt 之间的变化(包络近似),从而得出了 dk=Fdt 的结论。现在我们不忽略它的变化,从而推导出反常霍尔效应来。

   有:

(3)ψ(r,dt)eiEn,kdtei(k+Fdt)run,k=eiEn,kdtei(k+Fdt)r(un,kun,k+Fdt+un,k+Fdt)=eiEn,kdtei(k+Fdt)run,k+FdteiEn,kdtei(k+Fdt)r(un,k+Fdtun,k)=eiEn,kdtψn,k+FdteiEn,kdtei(k+Fdt)r(kuFdt)eiEn,kdtψn,k+FdteikrkuFdt ,
其中 ku 表示函数 uk 空间的梯度。最后一条等式的前一项即为经典理论的结果,后一项的导出只保留了 dt 的一阶小量。

3. ku 的形式

   现在我们来研究一下 ku。由上可知,有:

(4)H^0eikrun,k(r)=En,keikrun,k(r) ,
所以有:
(5)eikrH^0eikrun,k(r)=En,kun,k(r) ,
H^k=eikrH^0eikr 的本征函数是 un,k(r)。代入 H^0=22m2+V(r),对于任意一个函数 f(r),即有:
(6)H^kf(r)=eikr(h22m2+V(r))eikrf(r)=V(r)f(r)+eikr(22m)(ikeikrf(r)+eikrf(r))=V(r)f(r)+eikr(22m)(k2eikr+2ikeikrf(r)+eikr2f(r))=V(r)f(r)22m(k2+2ik+2)f(r) ,
H^k 的具体形式为
(7)H^k=22m(i+k)2+V(r) .
k 变化 δk 时,即有:
(8)H^k+δk=22m(i+k)2+V(r)+22m((k+δk)2k2)+mδk(i) .
等式右边第 1、2 项即为原先的 H^k, 第 3、4 项可以视为微扰。其中第 3 项是能量微扰项,不作用在波函数上,第四项为 kp 微扰项,与动量相关(此处还说明了晶格动量 k 与电子动量 p 不是同一个东西)。

   H^k 的本征态是不同 nun,k,不同的 n 之间的能级差较大,所以可以用非简并微扰来求解 H^k+δk 的本征态,即:

(9)un,k+δk(r)=un,k(r)+mδklnul,k|p^|un,kEn,kEl,kul,k(r) .
因为 un,k+δk=un,k+δkku,所以我们就终于得出了 ku 的具体形式,即:
(10)ku=mlnul,k|p^|un,kEn,kEl,kul,k(r) .

4. 不含包络近似的解

   将式 10 代回到最开始的式 3 ,即有:

(11)ψ(r,dt)eiEn,kdtψn,k+Fdt(r)Fmdtlnul,k|p^|un,kEn,kEl,kψl,k(r) .
因为 Fmdt 是小量,我们再做一个类似于式 3 最后化简时的把戏,将式 11 改写成:
(12)ψ(r,dt)eiEn,kdtψn,k+Fdt(r)Fmdtlnul,k|p^|un,kEn,kEl,kψl,k+Fdt(r) .
由此可见,不使用包络近似下,外力作用会将不同的能带耦合起来,这将使布洛赫电子的运动有别于经典的运动。 当外力 F 很小时,ψ 具有稳态解:
(13)ψ(r,t=)ψn,kimFlnul,k|p^|un,k(En,kEl,k)2ψl,k .

   现在我们可以来算速度了,根据隔壁量子力学的基础知识,有:

(14)v=drdt=i[H^,r^]=i[p^22m+V(r)Fr,r^]=P^/m .
继续忽略外力 F 的高阶项,则:
(15)v=P^/m=1mψn,k|p^|ψn,k+im2ln1(El,kEl,k)2[(Fun,k|p^|ul,k)ψl,k|p^|ψn,k(Ful,k|p^|un,k)ψn,k|p^|ψl,k] .
对于 ψn,k|p^|ψl,k(ln),则将其展开,由于 un,k 的正交性,有:
(16)ψn,k|p^|ψl,k=dV un,keikr(i)(eikrul,k)=un,k|p^|ul,k .
不妨记 un,k|p^|ul,kpnl,k. 而对于 ψn,k|p^|ψn,k,注意到:
(17)ψn,k|p^|ψn,k=un,k|k+p^|un,k=mun,k|(kHk^)|un,k .
并且:
(18)un,k|kHk^|un,k=un,k|k(Hk^un,k)un,k|Hk^|kun,k=un,k|k(En,kun,k)En,kun,k|kun,k=En,kun,k|kun,k+un,k|kEn,k|un,kEn,kun,k|kun,k=un,k|kEn,k|un,k=kEn,k .
式 18 式 16 代回到式 15 里,就有了一个简单的结果:
(19)v=1kEn,k+im2ln1(El,kEl,k)2((Fpnl,k)pln,k(Fpln,k)pnl,k)=1kEn,kF×2m2lnipnl,k×pln,k(El,kEn,k)2=1kEn,kF×Ωn,k .
其中的 Ωn,k 称为 Berry 曲率。

5. 性质与讨论

   聪明的小伙伴一眼就能看出来了,等式右边第一项正是准经典模型中的电子的群速度,但后一项显然与外力的方向垂直。比如在均匀电场下,有:

(20)dkdt=eE .
(21)drdt=kEn,k+eE×Ωn,k .
电子的速度不再与电场平行。运动时,偏转的电子形成横向的电场来中和这一多出来的项,这就是反常霍尔效应,我们可以在介质表面测量出来这一横向电场对应的电压。

   可以看出反常霍尔效应的产生依赖于 Berry 曲率不为零,而通过一些简单的计算就可以得出,如果晶体的晶胞(或者布里渊区)具有空间反演对称性(也就是 “中心对称”),或者时间反演对称性(也就是 “镜像对称”),则 Berry 曲率必定为零。而时间反演对称性的缺失通常意味着磁性,这就对应了最早发现的具有反常霍尔效应的材料是铁磁性材料。

   这一理论的中心是外力作用下的不同能带的波函数耦合,它只考虑完美的晶体内部的能带结构,不需要考虑其他因素,故称为 “内禀反常霍尔效应”。有学者考虑了带有缺陷、杂质的晶体中的的反常霍尔效应,提出了外禀的霍尔效应——斜交散射机制(SkewScattering,SS),以及侧越机制(Quantum side jump, SJ)。但关于反常霍尔效应的产生依旧没有定论。


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