郑州大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 30 分

　　 两个自旋为 $\hbar/2$ 的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子间的相互作用为 $c\vec{S}_1 \cdot \vec{S}_2$，其中 $c$ 为实常数。设 $t=0$ 时粒子 1 的自旋沿 $z$ 轴的正方向，粒子 2 的自旋沿 $z$ 轴的负方向（即处在 $\alpha(1)\beta(2)$ 态上），要求：

1. (1) 给出 $H$ 的本征值，并给出 $t > 0$ 时体系处的状态 $\psi(t)$；
2. (2) 给出 $t > 0$ 时，测量粒子 1 的自旋仍处在 $z$ 轴正方向的几率。

2. 20 分

　　 设线性谐振子的哈密顿量用升算符 $a^\dagger$ 与降算符 $a$ 表示为 $H_0 = \left(a^\dagger a + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega$，此体系受到微扰 $W = \lambda(a^\dagger + a)\hbar\omega$ 的作用。求体系的能级到二级近似（已知 $a^\dagger$ 与 $a$ 对 $H_0$ 的本征态 $|n\rangle$ 的作用为 $a^\dagger|n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$，$a|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle$）。

3. 20 分

　　 1.两个全同费米子的弹性散射，在原心系中入射波（空间波函数）表示为 $e^{ikz} + e^{-ikz}$，设相互作用为一个中心势 $V(r)$，给出体系的空间波函数在 $r \to \infty$ 处的渐近行为，并写出散射截面的表达式。

　　 2.用玻恩近似计算粒子对 $\delta$ 势 $V(\tau) = -V_0 exp(\frac{ \tau}{a})$ 的微分散射截面 $\sigma(\theta)$。已知 $$\int_{0}^{\infty} xexp(-ax) \sin\left(bx\right) dx = \frac{2ab}{(a^2 + b^2)^2}~$$

4. 20 分

　　 已知 $\sigma$ 为 Pauli 算符，在 $ \sigma_z$ 表象中给出 $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\sigma_z$ 的矩阵表示式，并求出它们的本征向量及本征值。