郑州大学 2008 年 考研 量子力学

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　　 假定自旋角动量算符 $\hat{J}_1^2$ 和 $\hat{J}_2^2$ 的本征值分别为 $6\hbar^2$ 和 $\frac{15}{4}\hbar^2$，如果 $\hat{J} = \hat{J}_1 + \hat{J}_2$，则 $\hat{J}^2$ 可能的本征值为（）

　　 $\text{A.} \quad \frac{1}{4}\hbar^2, \quad \frac{5}{4}\hbar^2, \quad \frac{15}{4}\hbar^2, \quad \frac{30}{4}\hbar^2\qquad \text{B.}\frac{3}{4}\hbar^2, \quad \frac{15}{4}\hbar^2, \quad \frac{35}{4}\hbar^2, \quad \frac{63}{4}\hbar^2$

　　 $\text{C.} \quad \frac{7}{4}\hbar^2, \quad \frac{14}{4}\hbar^2, \quad \frac{21}{4}\hbar^2, \quad \frac{28}{4}\hbar^2\qquad\text{D.} \quad \frac{3}{2}\hbar^2, \quad \frac{15}{2}\hbar^2, \quad \frac{35}{2}\hbar^2, \quad \frac{63}{2}\hbar^2$

　　 $\text{E.} \quad \frac{7}{2}\hbar^2, \quad \frac{14}{2}\hbar^2, \quad \frac{21}{2}\hbar^2, \quad \frac{28}{2}\hbar^2$

2

　　 如果 $\hat{A}$ 和 $\hat{C}$ 是厄米算符，并且 $[\hat{A}, \hat{C}] \neq 0$，则下列是厄米算符的是（）
$A. \hat{A}\hat{C}\qquad B. \hat{C}\hat{A}\qquad C. \hat{A}\hat{C} - \hat{C}\hat{A}\qquad D. i[\hat{A}, \hat{C}]\qquad E. 2[\hat{A}, \hat{C}]$

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　　 某复原子问题中，设原子核带正电荷 $Ze$，$a_0$ 为原子的玻尔半径，处于基态的电子，其出现几率最大的径向坐标位置为（）
$A. a_0\qquad B. a_0/Z \qquad C. a_0/2Z\qquad D. a_0/3Z\qquad E. a_0/4Z$

1. 计算题(共 5 面，每题 20 分，其 100 分)

　　 1.设一粒子在一维空间内运动，其哈密顿量为 $$H = \frac{P^2}{2m} + V(x) = \frac{P^2}{2m} - fx~$$ 其中 $f$ 是一个正值常数。试证明粒子的坐标和动量的平均值满足经典的运动方程。

　　 2.一维谐振子在 $t=0$ 时刻处在基态和第一激发态的线性叠加 $$|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} |0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} |1\rangle~$$ 求在 $t$ 时刻的状态 $|\psi(t)\rangle$ 及此时刻能量、坐标、及动量的平均值。

　　 3.设在 $H_0$ 表象下，$\hat{H}$ 的矩阵表示为 $$\begin{pmatrix} E_1^0 & 0 & a \\ 0 & E_2^0 & b \\ a^* & b^* & E_3^0 \end{pmatrix}~$$ 其中 $E_1^0 < E_2^0 < E_3^0$ 是 $\hat{H}_0$ 的能量本征值。试用微扰论求能级的二级修正。

　　 4.设在平行于 $y$ 轴的磁场中，一个电子的哈密顿量为 $$H = -\overline{\mathbf{M}} \cdot \overline{\mathbf{B}} = -\gamma \overline{\mathbf{S}} \cdot \overline{\mathbf{B}} = -\gamma S_y B_0~$$ 其中 $\mathbf{S}$ 为自旋算符，在 $t = 0$ 时刻，电子处在 $S_x$ 本征值为 $\hbar/2$ 的本征态，求以后时间电子所处状态的表示式。