郑州大学 2008 年 考研 量子力学

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　　 假定自旋角动量算符 ${\hat{J}}_1^2$ 和 ${\hat{J}}_2^2$ 的本征值分别为 $6{\hslash }^2$ 和 $\frac{15}{4}{\hslash }^2$，如果 $\hat{J}={\hat{J}}_1+{\hat{J}}_2$，则 ${\hat{J}}^2$ 可能的本征值为（）

　　 $\text{A.}\frac{1}{4}{\hslash }^2,\frac{5}{4}{\hslash }^2,\frac{15}{4}{\hslash }^2,\frac{30}{4}{\hslash }^2\text{B.}\frac{3}{4}{\hslash }^2,\frac{15}{4}{\hslash }^2,\frac{35}{4}{\hslash }^2,\frac{63}{4}{\hslash }^2$

　　 $\text{C.}\frac{7}{4}{\hslash }^2,\frac{14}{4}{\hslash }^2,\frac{21}{4}{\hslash }^2,\frac{28}{4}{\hslash }^2\text{D.}\frac{3}{2}{\hslash }^2,\frac{15}{2}{\hslash }^2,\frac{35}{2}{\hslash }^2,\frac{63}{2}{\hslash }^2$

　　 $\text{E.}\frac{7}{2}{\hslash }^2,\frac{14}{2}{\hslash }^2,\frac{21}{2}{\hslash }^2,\frac{28}{2}{\hslash }^2$

2

　　 如果 $\hat{A}$ 和 $\hat{C}$ 是厄米算符，并且 $[\hat{A},\hat{C}]\ne 0$，则下列是厄米算符的是（）
$A.\hat{A}\hat{C}B.\hat{C}\hat{A}C.\hat{A}\hat{C}-\hat{C}\hat{A}D.i[\hat{A},\hat{C}]E.2[\hat{A},\hat{C}]$

3

　　 某复原子问题中，设原子核带正电荷 $Ze$，$a_0$ 为原子的玻尔半径，处于基态的电子，其出现几率最大的径向坐标位置为（）
$A.a_{0}B.a_0/ZC.a_0/2ZD.a_0/3ZE.a_0/4Z$

1. 计算题(共 5 面，每题 20 分，其 100 分)

　　 1.设一粒子在一维空间内运动，其哈密顿量为 $$H=\frac{P^2}{2m}+V(x)=\frac{P^2}{2m}-fx$$ 其中 $f$ 是一个正值常数。试证明粒子的坐标和动量的平均值满足经典的运动方程。

　　 2.一维谐振子在 $t=0$ 时刻处在基态和第一激发态的线性叠加 $$|\psi (0)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$$ 求在 $t$ 时刻的状态 $|\psi (t)⟩$ 及此时刻能量、坐标、及动量的平均值。

　　 3.设在 $H_0$ 表象下，$\hat{H}$ 的矩阵表示为 $$\left(\begin{array}{ccc}{E}_1^0& 0& a\\ 0& E_2^0& b\\ a^{\ast }& b^{\ast }& E_3^0\end{array}\right)$$ 其中 $E_1^0<E_2^0<E_3^0$ 是 ${\hat{H}}_0$ 的能量本征值。试用微扰论求能级的二级修正。

　　 4.设在平行于 $y$ 轴的磁场中，一个电子的哈密顿量为 $$H=-\bar{\mathbf{M}}\cdot \bar{\mathbf{B}}=-\gamma \bar{\mathbf{S}}\cdot \bar{\mathbf{B}}=-\gamma S_y{B}_0$$ 其中 $\mathbf{S}$ 为自旋算符，在 $t=0$ 时刻，电子处在 $S_x$ 本征值为 $\hslash /2$ 的本征态，求以后时间电子所处状态的表示式。