北京大学 2017 年 考研 量子力学

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1. 一

　　 1.宽度为 $2L$ 的无限深势阱，范围为 $-L < x < L$，求能量本征态和相应的本征值。

　　 2.已知 $t = 0$ 时处于基态，势阱宽度突然变为 $4L$，范围为 $-2L < x < 2L$，求随时间变化的波函数表达式 $\varphi(t)$，求处于变化后体系本征态能量的概率，求体系的能量平均值 $\overline{E(t)}$。

2. 二

　　 一个二维谐振子，哈密顿量为 $$\hat{H} = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_x x^2 + \frac{p_y^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega_y y^2~$$

　　 1.若 $\frac{\omega_x}{\omega_y} = \frac{3}{4}$，求第一个和第二个简并能级。

　　 2.若 $\omega_x = \omega_y$，有两个自旋为 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度。

3. 三

　　 1.在 $\sigma_z$ 表象下，$\sigma_x$、$\sigma_y$、$\sigma_z$ 的矩阵表示及其归一化本征态、本征值。

　　 2.在 $\sigma_x$ 表象下，$\sigma_y$ 和 $\sigma_z$ 的归一化本征态。

4. 四

　　 体系哈密顿量为 $\hat{H} = \hbar( |1\rangle \langle 2| + |2\rangle \langle 1| )$ 其中 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$ 为体系两个正交归一的本征态。在 $t=0$ 时，算符 $\hat{O} = 3 |1\rangle \langle 1| - |2\rangle \langle 2|$ 的平均值为 -1，求体系初始态及 $t > 0$ 时体系最初转化为 $|1\rangle$ 的时间。

5. 五

　　 考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体

　　 1.体系能量基态本征函数为 $\psi = N e^{-\frac{r}{a}}$，求归一化系数 $N$ 和不确定度 $(\Delta \vec x)^2$ 和 $(\Delta r)^2$。

　　 2.用微扰法求出这种改动对氢原子能量基态能量的一级修正。

6. 六

　　 一维粒子由右边入射，收到的势能为 $$V(x) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ -\frac{gh^2}{2m} \delta(x-a) & x > 0 \end{cases}~$$ 1.若能量 $E > 0$，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现。

　　 2.求存在束缚态得条件。