浙江大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 第一题(50 分)简答题:

1. 写出泡利矩阵的形式。
2. 量子力学中的可观察量算符为什么要求是厄米算符？
3. 放射性指的是某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
4. 试求质量为 $m$ 的粒子处在长度为 $L$ 的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对各壁的压力。
5. 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
6. 写出测测不准关系，并简要说明其物理含义。
7. 请分别列出下列三种能级对应的量子系统： $$E_n^{\prime }\propto \frac{1}{n^2},E_n^{″}\propto n^2,E_n^{‴}\propto n$$
8. $\hat{H}=\widehat{H_0}+\widehat{H^{\prime }}$，设 ${\mathrm{\Psi }}_n$ 为 $\widehat{H_0}$ 的能量本征值为 $E_n$ 的非简并本征函数，如果 $\widehat{H^{\prime }}$ 可作微扰，试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。

2. 第二题(25 分):

　　 有一个质量为 $m$ 的粒子处在如下势阱中

　　 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& x<0\\ -V_0& 0<x<0\\ 0& a<x<a+b\\ V_0& a+b<x\end{array}$$ 这里 $V_0>0$.

　　 1. 求能级与波函数。

　　 2. 你认为通过调整 $a$ 和 $b$ 中的哪一个参数值可以让势阱中的粒子有一定的概率穿透出来，为什么？

3. 第三、四题(25 分+25 分)从如下(A)、(B)、(C)中选做二个即可!

　　 （A） 求屏蔽库伦场 $W(r)=\frac{b}{r}{e}^{-r/a}$ 的微分散射截面（提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）。

　　 （B） 用分波法求势场 $V(r)=\{\begin{array}{ll}0& r>a\\ \\ \mathrm{\infty }& r\le a\end{array}$ 散射的 S 波相移。

　　 （C） 有一种冷原子具有两个能级简并的态 $|1⟩$ 和 $|2⟩$，最近科学家在他们的冷原子 “暗态” 实验中引入的激光场的效应描述为如下微扰哈密顿量， $$H^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{w}_1{w}_1& w_1{w}_2\\ \\ w_2{w}_1& w_2{w}_2\end{array}\right)$$ 求出该微扰哈密顿量引起的能级修正和所得对应本征态。

4. 第五题(25 分):

　　 电子被束缚在简谐振子势场中：$V(r)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$，若引入

　　 $$\hat{a}={\left(\frac{m\omega }{2\hslash }\right)}^{1/2}(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}),{\hat{a}}^{†}={\left(\frac{m\omega }{2\hslash }\right)}^{1/2}(\hat{x}-\frac{i}{m\omega }\hat{p}),$$

　　 则有 $H=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})$，并有

　　 $${\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩,\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$$

　　 显然基态 $|0⟩$ 应满足 $\hat{a}|0⟩=0$。

　　 1. 试求基态波函数 ${\psi }_0$ 和第 1 激发态的波函数 ${\psi }_1$。

　　 2. 如果该势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用），写出它们的基态波函数（提示：电子的自旋为 $1/2$ 的全同粒子）。

　　 3. 如果加入均匀磁场 $B$，问当 $B$ 很强，超过某临近临界 $B$ 时，上述基态还会是基态吗？是具体求出 $B$。