浙江大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 第一题(50 分)简答题:

1. 写出泡利矩阵的形式。
2. 量子力学中的可观察量算符为什么要求是厄米算符？
3. 放射性指的是某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？
4. 试求质量为 $m$ 的粒子处在长度为 $L$ 的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对各壁的压力。
5. 自发辐射和受激辐射的区别是什么？
6. 写出测测不准关系，并简要说明其物理含义。
7. 请分别列出下列三种能级对应的量子系统： \[ E_n' \propto \frac{1}{n^2}, \quad E_n'' \propto n^2, \quad E_n''' \propto n ~\]
8. $\hat{H} = \hat{H_0} + \hat{H'}$，设 $\Psi_n$ 为 $\hat{H_0}$ 的能量本征值为 $E_n$ 的非简并本征函数，如果 $\hat{H'}$ 可作微扰，试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。

2. 第二题(25 分):

　　 有一个质量为 $m$ 的粒子处在如下势阱中

　　 \[ V(x) = \begin{cases} \infty & x < 0 \\ -V_0 & 0 < x < 0 \\ 0 & a < x < a + b \\ V_0 & a + b < x \end{cases}~ \] 这里 \( V_0 > 0 \).

　　 1. 求能级与波函数。

　　 2. 你认为通过调整 \( a \) 和 \( b \) 中的哪一个参数值可以让势阱中的粒子有一定的概率穿透出来，为什么？

3. 第三、四题(25 分+25 分)从如下(A)、(B)、(C)中选做二个即可!

　　 （A） 求屏蔽库伦场 $W(r) = \frac{b}{r} e^{-r/a}$ 的微分散射截面（提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）。

　　 （B） 用分波法求势场 $V(r) = \begin{cases} 0 & r > a \\\\ \infty & r \leq a \end{cases}$ 散射的 S 波相移。

　　 （C） 有一种冷原子具有两个能级简并的态 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$，最近科学家在他们的冷原子 “暗态” 实验中引入的激光场的效应描述为如下微扰哈密顿量， $$H' = \begin{pmatrix} w_1 w_1 & w_1 w_2 \\\\ w_2 w_1 & w_2 w_2\end{pmatrix}~$$ 求出该微扰哈密顿量引起的能级修正和所得对应本征态。

4. 第五题(25 分):

　　 电子被束缚在简谐振子势场中：\( V(r) = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 ~\)，若引入

　　 \[\hat{a} = \left(\frac{m \omega}{2 \hbar} \right)^{1/2} \left( \hat{x} + \frac{i}{m \omega} \hat{p} \right), \quad \hat{a}^\dagger = \left(\frac{m \omega}{2 \hbar} \right)^{1/2} \left( \hat{x} - \frac{i}{m \omega} \hat{p} \right),~\]

　　 则有 \( H = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}) ~\)，并有

　　 \[\hat{a}^\dagger \lvert n \rangle = \sqrt{n+1} \lvert n+1 \rangle , \quad \hat{a} \lvert n \rangle = \sqrt{n} \lvert n-1 \rangle ~\]

　　 显然基态 \(\lvert 0 \rangle\) 应满足 \( \hat{a} \lvert 0 \rangle = 0 ~\)。

　　 1. 试求基态波函数 \( \psi_0 \) 和第 1 激发态的波函数 \( \psi_1 \)。

　　 2. 如果该势阱中有两个电子（忽略它们间的相互作用），写出它们的基态波函数（提示：电子的自旋为 \(1/2\) 的全同粒子）。

　　 3. 如果加入均匀磁场 \( B \)，问当 \( B \) 很强，超过某临近临界 \( B \) 时，上述基态还会是基态吗？是具体求出 \( B \)。