浙江大学 2008 年考研量子力学

贡献者：待更新

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1. 第一题:简答题(30 分)

　　 (1) 从正则对易关系 $[x_i, \hat{p}_j] = i\hbar \delta_{ij}$ 推出角动量算符的对易关系；

　　 (2) 用测不准关系估算氢原子的基态能量；

　　 (3) 什么是量子跃迁？什么是选择定则？线偏振光和圆偏振光照射下的选择定则有什么区别？

　　 (4) 什么是塞曼效应？什么是斯塔克效应？

　　 (5) 什么是受激辐射？什么是光电效应？

2. 第二题:(25 分)

　　设电子以给定的能量 $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$ 自左入射，遇到一个方势阱 \[V(x) = \begin{cases} 0 & x < 0, x > a \\\\- V_0 & 0 \leq x \leq a\end{cases}~\]

　　（a）求反射系数和透射系数:

　　（b）给出发生共振隧穿的条件;

　　（c）考虑到电子有自旋(自旋向下或向上)，你能否借用上面的结果，设计一个量子调控装置，使反射回来的只有自旋向上的电子而没有自旋向下的电子?

3. 第三题:(20 分)

　　于下列中心势场：

\begin{equation} (a) \quad V(r) = a \delta (r) \quad \quad (b) \quad V(r) = b e^{-ar} \quad \quad (c) \quad V(r) = c e^{-a r^2}~ \end{equation}

　　（从三种势中选做一个即可！），用玻恩近似化计算散射截面 $\sigma (\theta)$。

4. 第四题:(25 分)

　　当前物理前沿的一个重要领域是自旋霍尔效应，其中有一类为二维电子气型系统。该系统的哈密顿量为

\begin{equation} \hat{H} = \frac{1}{2m} \left( \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 \right) + \alpha \left( \hat{p}_x \hat{\sigma}_y - \hat{p}_y \hat{\sigma}_x \right)~ \end{equation}

　　其中 $\alpha$ 是一个系数，$\hat{\sigma}_x$、$\hat{\sigma}_y$ 代表泡利矩阵。试从该系统的薛定谔方程

\begin{equation} i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi~ \end{equation}

　　出发，导出连续性方程，并给出相应的几率密度和几率流密度的表达式。

5. 第五题:(25 分)

　　许多物理问题可以化成两能级系统，如 \[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}' = \begin{pmatrix} A + a & b \\\\ b & B +a \end{pmatrix},~\] 其中 $a$, $b$ 为实数，并且 $a$ 远小于 $A - B$，

(a) 试求能级的精确值；
(b) 再用微扰公式写出能级（到二级近似），并比较两种结果。

6. 第六题:(25 分)

　　当前冷原子物理研究非常活跃。在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为

　　 \[\hat{H_0} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2r^2~\]

　　假如粒子间有相互作用 $\hat{H}' = J\hat{S_1} \cdot \hat{S_2}$，其中 $\hat{S_1}$、$\hat{S_2}$ 分别代表粒子 1 和粒子 2 的自旋，参数 $J > 0$。

　　 (a) 如果把两个自旋 $\frac{1}{2}$ 的全同粒子放在上述势中，试写出基态能量和基态波函数；

　　 (b) 如果把两个自旋 1 的全同粒子放在上述势中，试写出基态能量和基态波函数（注意：参数在不同范围内，情况会不同）。

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