浙江大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 第一题(50 分)简答题:

　　 (1) 从坐标与动量算符的对易关系（$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$ 等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。

　　 (2) 请用泡利矩阵 ${\sigma }^x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \\ 1& 0\end{array}\right)$，${\sigma }^y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ \\ i& 0\end{array}\right)$，${\sigma }^z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \\ 0& -1\end{array}\right)$ 定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。

　　 (3) 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

　　 (4) 你知道量子力学中的哪些数定律在经典物理中没有对应？

　　 (5) 设 ${\mathrm{\Psi }}_0$ 为 ${\hat{H}}_0$ 的简并本征函数，相应的能量本征值为 $E_n$，如果 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$，其中 ${\hat{H}}^{\prime }$ 可看作微扰。试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。

　　 (6) 什么叫受激辐射？什么叫自发辐射？

　　 (7) 写出由 $\frac{1}{2}$ 自旋态构成的总自旋为 0 的态矢和自旋为 1 的态矢。

2. 第二题(20 分):

　　 已知氢原子的基态波函数为： $$\psi (r,\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-r/a_0},$$

1. 求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的 $r$ 值）。
2. 求氢原子的平均半径（即 $r$ 的平均值）。

3. 第三题(20 分):

　　 有一个质量为 $M$ 的粒子在宽度为 $a$ 的无限深势阱中运动。

1. 求出其能级和波函数。
2. 如果该粒子的自旋为 $\frac{1}{2}$，则能级二重简并。加入磁场后 Zeeman 效应会让能级分裂，简并消除。当磁场为某个特殊值时，又会出现简并能级。试求该磁场的值。

4. 第四题(20 分):

　　 试求 $$\hat{H}=\frac{1}{2M}({\hat{p}}_x^2+{\hat{p}}_y^2)+\frac{M}{2}{\omega }_c^2(x^2+y^2)+{\omega }_c{\hat{L}}_z$$ 的能级。你觉得能级简并度有什么特点？

　　 [提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为 $$E=(2n_{\rho }+|m|+1)\hslash {\omega }_c$$ $n_{\rho }$ 为径向量子数，$m$ 为磁量子数。]

5. 第五题(20 分):

　　 一个体系的哈密顿量为 $$H={\sigma }_1^x{\sigma }_2^x+{\sigma }_1^x{\sigma }_2^y+{\sigma }_1^z{\sigma }_2^z$$ 其中 $\lambda$ 为实数，泡利矩阵的下标 $1,2$ 表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为 ${\sigma }_1^x{\sigma }_2^x={\sigma }_1^x\otimes {\sigma }_2^x$ 等等。

　　 （1）求出其本征值。

　　 （2）对于不同的 $\lambda$ 取值范围，写出相应的基态矢量。

6. 第六题(20 分:选做(A)、(B)、(C)其中一题即可):

• (A)用玻恩近似求势场 $V(r)=V_0{e}^{-r^2/x_0^2}$ 的散射截面。
• (B)用分波法求势场 $$V(n)=\{\begin{array}{ll}0& r>R\\ \\ \mathrm{\infty }& r\le R\end{array}$$ 散射的 $s$ 波相移。
• (C)求一维方势阱 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& |x|\ge a\\ \\ -V_0& |x|<a\end{array}$$ 的透射系数，并给出发生共振透射的条件。