浙江大学 2006 年 考研 量子力学

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1. 第一题(50 分)简答题:

　　 (1) 从坐标与动量算符的对易关系（$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。

　　 (2) 请用泡利矩阵 $\sigma^x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，$\sigma^y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\\\ i & 0 \end{pmatrix}$，$\sigma^z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。

　　 (3) 量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？

　　 (4) 你知道量子力学中的哪些数定律在经典物理中没有对应？

　　 (5) 设 $\Psi_0$ 为 $\hat{H}_0$ 的简并本征函数，相应的能量本征值为 $E_n$，如果 $\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{H}'$，其中 $\hat{H}'$ 可看作微扰。试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。

　　 (6) 什么叫受激辐射？什么叫自发辐射？

　　 (7) 写出由 $\frac{1}{2}$ 自旋态构成的总自旋为 0 的态矢和自旋为 1 的态矢。

2. 第二题(20 分):

　　 已知氢原子的基态波函数为： \[\psi(r, \theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r / a_0},~\]

1. 求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的 $r$ 值）。
2. 求氢原子的平均半径（即 $r$ 的平均值）。

3. 第三题(20 分):

　　 有一个质量为 $M$ 的粒子在宽度为 $a$ 的无限深势阱中运动。

1. 求出其能级和波函数。
2. 如果该粒子的自旋为 $\frac{1}{2}$，则能级二重简并。加入磁场后 Zeeman 效应会让能级分裂，简并消除。当磁场为某个特殊值时，又会出现简并能级。试求该磁场的值。

4. 第四题(20 分):

　　 试求 \[\hat{H} = \frac{1}{2M} \left( \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 \right) + \frac{M}{2} \omega_c^2 \left( x^2 + y^2 \right) + \omega_c \hat{L}_z~\] 的能级。你觉得能级简并度有什么特点？

　　 [提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为 \[E = \left( 2n_\rho + |m| + 1 \right) \hbar \omega_c~\] $n_\rho$ 为径向量子数，$m$ 为磁量子数。]

5. 第五题(20 分):

　　 一个体系的哈密顿量为 \[H = \sigma_1^x \sigma_2^x + \sigma_1^x \sigma_2^y + \sigma_1^z \sigma_2^z ~\] 其中 $\lambda$ 为实数，泡利矩阵的下标 $1, 2$ 表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为 $\sigma_1^x \sigma_2^x = \sigma_1^x \otimes \sigma_2^x$ 等等。

　　 （1）求出其本征值。

　　 （2）对于不同的 $\lambda$ 取值范围，写出相应的基态矢量。

6. 第六题(20 分:选做(A)、(B)、(C)其中一题即可):

• (A)用玻恩近似求势场 $V(r) = V_0 e^{-r^2 / x_0^2}$ 的散射截面。
• (B)用分波法求势场 \[ V(n) = \begin{cases} 0 & r > R \\\\ \infty & r \leq R \end{cases} ~\] 散射的 $s$ 波相移。
• (C)求一维方势阱 \[ V(x) = \begin{cases} 0 & |x| \geq a \\\\ -V_0 & |x| < a \end{cases} ~\] 的透射系数，并给出发生共振透射的条件。