浙江大学 2005 年 考研 量子力学

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1. 第一题:简答题(28 分)

1. 写出测不准关系;
2. 写出泡利矩阵;
3. 对于 $\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \alpha \hat{L}_z$，（$\alpha$ 为常数），下列力学量中哪些是守恒量？ \[ \hat{H}, \hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z, \hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z, \hat{L}^2 ~\]
4. 能级的简并度指的是什么？

2. 第二题:(21 分)

1. 电子在三维均匀磁场中运动，$\mathbf{B} = (0, 0, B)$，试写出描述该系统的哈密顿量;
2. 现在有三种能级 $E_n^I \propto \frac{1}{n^2}$，$E_n^{II} \propto n^2$，$E_n^{III} \propto n$，请分别指出他们对应的是哪些系统；
3. 放射性指的是某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来。你认为这与什么量子效应有关？

3. 第三题:(只需选做(A)、(B)中一题)(20 分)

　　 已知氢原子的基态波函数为 \[\psi(r, \theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} e^{-r/a_0},~\] 求：

　　 (A) 势能的平均值 \(V(r) = -\frac{e^2}{r}\)；

　　 (B) 动能的平均值。

4. 第四题:(21 分)

　　 考虑一维阶梯势 \(V(x)\)： \[V(x) = \begin{cases} U_0, & x > 0 \\\\0, & x < 0\end{cases}~\] 若能量 \(E\) 的粒子 \( (E > U_0) \) 从左边入射，试求该阶梯的反射系数和透射系数。

5. 第五题:(20 分)

　　 将质子看作是半径为 \(R\) 的带电球壳，势能 \(V(r)\) 为： \[V(r) = \begin{cases} \frac{e}{R}, & r < R \\\\\frac{e}{r}, & r > R\end{cases}~\] 其中 \(e\) 为基本电荷值，\(a_0\) 为玻尔半径，\(R \ll a_0\)，计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一阶修正。

6. 第六题: (选做(A)、(B)中一题可) (20 分)

　　 (A) 求一粒子被半径为 \(R\) 的不可穿透硬球散射的 \(s\) 波相移。

　　 (B) 试求屏蔽库仑场 \(V(r) = \frac{Q}{r} e^{-r/a}~\) 的微分散射截面。

　　 提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式 \[\sigma(\theta) = \frac{4m^2}{\hbar^4} \left| \int_0^\infty \frac{r \sin\left(Kr\right) }{K} V(r) dr \right|^2~\] 其中 \(K = 2k \sin\frac{\theta}{2}\)。

7. 第七题:(20 分)

　　 一个量子点中的单电子能级有两个本征值 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$，并且都是非简并的。其中 $\varepsilon_1 < \varepsilon_2$，它们相应的单电子空间波函数分别为 $f(r)$ 和 $g(r)$。试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为 1/2），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。