浙江大学 2005 年 考研 量子力学

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1. 第一题:简答题(28 分)

1. 写出测不准关系;
2. 写出泡利矩阵;
3. 对于 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\alpha {\hat{L}}_z$，（$\alpha$ 为常数），下列力学量中哪些是守恒量？ $$\hat{H},{\hat{p}}_x,{\hat{p}}_y,{\hat{p}}_z,{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z,{\hat{L}}^2$$
4. 能级的简并度指的是什么？

2. 第二题:(21 分)

1. 电子在三维均匀磁场中运动，$\mathbf{B}=(0,0,B)$，试写出描述该系统的哈密顿量;
2. 现在有三种能级 $E_n^I\propto \frac{1}{n^2}$，$E_n^{II}\propto n^2$，$E_n^{III}\propto n$，请分别指出他们对应的是哪些系统；
3. 放射性指的是某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来。你认为这与什么量子效应有关？

3. 第三题:(只需选做(A)、(B)中一题)(20 分)

　　 已知氢原子的基态波函数为 $$\psi (r,\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}{e}^{-r/a_0},$$ 求：

　　 (A) 势能的平均值 $V(r)=-\frac{e^2}{r}$；

　　 (B) 动能的平均值。

4. 第四题:(21 分)

　　 考虑一维阶梯势 $V(x)$： $$V(x)=\{\begin{array}{ll}{U}_0,& x>0\\ \\ 0,& x<0\end{array}$$ 若能量 $E$ 的粒子 $(E>U_0)$ 从左边入射，试求该阶梯的反射系数和透射系数。

5. 第五题:(20 分)

　　 将质子看作是半径为 $R$ 的带电球壳，势能 $V(r)$ 为： $$V(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{e}{R},& r<R\\ \\ \frac{e}{r},& r>R\end{array}$$ 其中 $e$ 为基本电荷值，$a_0$ 为玻尔半径，$R\ll a_0$，计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一阶修正。

6. 第六题: (选做(A)、(B)中一题可) (20 分)

　　 (A) 求一粒子被半径为 $R$ 的不可穿透硬球散射的 $s$ 波相移。

　　 (B) 试求屏蔽库仑场 $V(r)=\frac{Q}{r}{e}^{-r/a}$ 的微分散射截面。

　　 提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式 $$\sigma (\theta )=\frac{4m^2}{{\hslash }^4}{|{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{r\sin \left(Kr\right)}{K}V(r)dr|}^2$$ 其中 $K=2k\sin \frac{\theta }{2}$。

7. 第七题:(20 分)

　　 一个量子点中的单电子能级有两个本征值 ${\epsilon }_1$ 和 ${\epsilon }_2$，并且都是非简并的。其中 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2$，它们相应的单电子空间波函数分别为 $f(r)$ 和 $g(r)$。试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为 1/2），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。