浙江大学 2002 年 考研 量子力学

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1. 第一题:从下面四题中任选三题(15 分)

　　 (1)试说明光电效应实验中的 “红限” 现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念?

　　 (2)如何从黑体辐射实验的 Planck 公式中推出 Stefan 公式?(只要求给出思路)。根据该 公式，能否做出什么测温仪器?

　　 (3)你认为 Bohr 的量子理论有哪些成功之处?有哪些不成功的地方?试举一例说明

　　 (4)你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念?

2. 第二题(20 分):

　　 设氢原子处于状态: \[\Psi(r, 0, \varphi) = \frac{1}{4} R_{21}(r) Y_{11}(0, \varphi) - \frac{\sqrt{7}}{4} R_{21}(r) Y_{10}(0, \varphi) + \frac{1}{\sqrt{2}} R_{31}(r) Y_{1-1}(0, \varphi)~\]

　　 (1) 测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

　　 (2) 测量该原子的角动量平方 $\hat{L}_z^2$，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

　　 (3) 测得的角动量分量 $L_z$ 的可能值和相应几率为多少？

3. 第三题:(20 分)

　　 一质量为 $m$ 的粒子处于势场 $V(x)$ 中运动，若

　　 (1) \[V(x) = \begin{cases} \infty, & |x| > a \\\\0, & |x| \leq a \end{cases}~\] 则该粒子的本征能量为多少？

　　 (2) \[V(x) = a \delta(x), \quad a < 0 \text{ 为已知常数, 则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？}~\]

　　 (3) \[V(x) = \begin{cases} V_0\delta(x), & |x| < a \\\\\infty, & |x| \geq a \end{cases}, \quad V_0 > 0~\] 是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？

　　 (4) 能量为 $E$ 的平行粒子束，以入射角 $\theta$ 的射向平面 $x = 0$, 在区域 $x < 0$, $V = 0$, 在区域 $x > 0$, $V = -V_0$. 试从量子力学的角度，分析粒子的反射及折射规律。（用 $\theta$ 及 $n = \left( 1 + \frac{V_0}{E} \right)^{\frac{1}{2}}$ 表示反射几率 $R$ 及折射几率 $D$。）

4. 第四题:(15 分)

　　 (1) 如何证明一个算符为厄米算符？算符 $\hat{A} = i \hbar x \frac{d}{dx}$ 是否为厄米算符？

　　 (2) 若 $[\hat{x}, \hat{p_x}] = i\hbar$，计算并易于 $[\hat{x}^3, \hat{p_x}^3]$。

　　 (3) 证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。

　　 (4) 为什么物理量要用厄米算符来表示？

　　 下面三组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答。

5. 第五题:(15 分)

　　 在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为 \(m\) 相互作用势用

　　 \[ V(x) = \frac{1}{2} m(\omega_1^2 x^2 + \omega_2 x + e)~ \]

　　 来表示，其中 \(\omega, \omega_2, e\) 为常数。若 \(\langle \hat{x} \rangle_{t-0} = 0\)，\(\langle \hat{p} \rangle_{t-0} = 0\)，问其位移 \(x\) 的平均值与时间的关系为何？

6. 第六题:(15 分)

　　 如果有一个二能级系统 \(\lvert 1 \rangle\), \(\lvert 2 \rangle\)，其相应的能量分别为 \(E_1\), \(E_2\)，哈密顿算符的有关矩阵元为

　　 \[ \langle 1 \lvert \hat{H} \rvert 1 \rangle = E_1 + b, \quad \langle 2 \lvert \hat{H} \rvert 2 \rangle = E_2 + b, \quad \langle 1 \lvert \hat{H} \rvert 2 \rangle = \langle 2 \lvert \hat{H} \rvert 1 \rangle = a~ \]

　　 其中 \(E_1, E_2, a, b\) 为已知常数，满足一切近似条件。问：

　　 1. 若以 \(\lvert 1 \rangle, \lvert 2 \rangle\) 为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？

　　 2. 至二级近似，本征能量为何？

7. 第七题:(15 分)

　　 若有一质量为 $m$ 的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为 $\mu$，势场形式为 $$ V(r) = \begin{cases} -V_0, & r < a \\ 0, & r \geq a \end{cases}~ $$ $V_0 > 0$，$a$ 为已知常数。问：

　　 1. 使用玻恩近似化还是用分波法比较合适？

　　 2. 试问相移 $\delta_l$ 的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？

　　 3. 求出零级近似下的微分散射截面。

　　 4. 若不知道势场 $V(r)$ 的具体形式，能否利用散射实验来确定 $V(r)$？

8. 第八题:（15 分）

　　 试证固体物理学中常用的 Thomas-Reiche-Kuhn 求和规则：

　　 \[\sum_n (E_n - E_a) \left| \langle n | \hat{x} | a \rangle \right|^2 = \frac{\hbar^2}{2m}~\]

　　 其中，\(|n\rangle, |a\rangle\) 为系统的两个任意的能态，\(E_n, E_a\) 为任意两个能级的能量，\(m\) 为粒子的质量。