浙江大学 2003 年 考研 量子力学

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1. 第一题(35 分):

　　 1. 如果 $\psi_1$ 和 $\psi_2$ 是某一体系含时薛定谔方程的两个解

　　 1) 它们的线性组合 $\psi = a\psi_1 + b\psi_2$，（$a, b$ 是常数），是否满足同样的含时薛定谔方程？

　　 2) 若令 $\psi' = \psi_1\psi_2$，你认为 $\psi'$ 是否满足同样的含时薛定谔方程？

　　 2. 质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问势阱中的基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？

　　 3.1) 你是否认识这三个矩阵： \[\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\1 & 0\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}0 & -i \\\\i & 0\end{pmatrix}\quad\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\0 & -1\end{pmatrix}~\] 在量子力学中他们称为什么？

　　 2) 大家知道，$[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar$ 为量子力学中最基本的对易关系（这里 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$ 分别是位置算符和动量算符）

　　 和动量算符，你是否记得角动量 $\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z$ 之间的对易关系？请写出来！

　　 3) 请算一下 \[[[\hat{L}_x, \hat{L}_y], \hat{L}_z] + [[\hat{L}_y, \hat{L}_z], \hat{L}_x] + [[\hat{L}_z, \hat{L}_x], \hat{L}_y] = ?~\]

2. 第二题(20 分):

　　 有一个双势阱（与量子前沿问题有关）

　　 \[V(x) =\begin{cases} \infty, & x < 0 \\\\-V_0, & 0 < x < a \\\\0, & a < x < 2a \\\\-V_0, & 2a < x < 3a \\\\\frac{1}{2} V_0, & 3a < x \end{cases}~\] 这里 $V_0 > 0$，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解）

3. 第三题(25 分):

　　 处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为 \[\hat{H} = \frac{1}{2m} (p_x^2 + p_y^2) + \frac{1}{2} m\omega^2 (x^2 + y^2) + eEx~\] （其中电场强度 $E$ 为常数）

　　 (1) 求出其能级。

　　 (2) 电场 $E$ 的大小会产生什么影响？

4. 第四题(20 分):

　　 如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为 $a_0$ 的球内所组成，那么其散射势可表示为 \[V(r) =\begin{cases} \frac{ze^2}{r} - \frac{r}{R}, & r < a_0 \\\\0, & r > a_0 \end{cases}~\] 其中 $R = \frac{a_0^2}{ze^2}$，试用玻恩近似求散射截面。