浙江大学 2003 年 考研 量子力学

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1. 第一题(35 分):

　　 1. 如果 ${\psi }_1$ 和 ${\psi }_2$ 是某一体系含时薛定谔方程的两个解

　　 1) 它们的线性组合 $\psi =a{\psi }_1+b{\psi }_2$，（$a,b$ 是常数），是否满足同样的含时薛定谔方程？

　　 2) 若令 ${\psi }^{\prime }={\psi }_1{\psi }_2$，你认为 ${\psi }^{\prime }$ 是否满足同样的含时薛定谔方程？

　　 2. 质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问势阱中的基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？

　　 3.1) 你是否认识这三个矩阵： $$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ \\ i& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ \\ 0& -1\end{array}\right)$$ 在量子力学中他们称为什么？

　　 2) 大家知道，$[\hat{x},\hat{p}]=i\hslash$ 为量子力学中最基本的对易关系（这里 $\hat{x}$ 和 $\hat{p}$ 分别是位置算符和动量算符）

　　 和动量算符，你是否记得角动量 ${\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z$ 之间的对易关系？请写出来！

　　 3) 请算一下 $$[[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y],{\hat{L}}_z]+[[{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z],{\hat{L}}_x]+[[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x],{\hat{L}}_y]=?$$

2. 第二题(20 分):

　　 有一个双势阱（与量子前沿问题有关）

　　 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0\\ \\ -V_0,& 0<x<a\\ \\ 0,& a<x<2a\\ \\ -V_0,& 2a<x<3a\\ \\ \frac{1}{2}{V}_0,& 3a<x\end{array}$$ 这里 $V_0>0$，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解）

3. 第三题(25 分):

　　 处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为 $$\hat{H}=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+\frac{1}{2}m{\omega }^2(x^2+y^2)+eEx$$ （其中电场强度 $E$ 为常数）

　　 (1) 求出其能级。

　　 (2) 电场 $E$ 的大小会产生什么影响？

4. 第四题(20 分):

　　 如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为 $a_0$ 的球内所组成，那么其散射势可表示为 $$V(r)=\{\begin{array}{ll}\frac{z{e}^2}{r}-\frac{r}{R},& r<a_0\\ \\ 0,& r>a_0\end{array}$$ 其中 $R=\frac{a_0^2}{z{e}^2}$，试用玻恩近似求散射截面。